APLICACION DE LA DERIVADA

Guadalajara, Jal. A 22 de septiembre del 2014

Grupo: ER-ECDN-1402S-BI-001

Profesora: Eréndira Santos Viveros.

Alumno: Francisco Solís Mancilla

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada

Resuelve los siguientes ejercicios:

Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un triángulo equilátero, ¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima?

X

Y

sen⁡β = (cateto opuesto)/hipotenusa

sen⁡〖60°〗 = y/hipotenusa

El área del cuadrado es igual a (y y 〖 sen〗⁡〖60°〗)/2 = y² √3/4

El área total es:

A = X² + y² √3/4 …………………………………………………………………………ecuación 1

Si el lado del cuadrado es x, y el lado del triángulo es y

Del perímetro total se tiene:

4x +3y = 150

X = (150 - 3y)/4 ………………………………………………………...ecuación 2

Sustituyendo 2 en la ecuación 1

A (y) = ( (150 - 3y)/4)² + y² √3/4 = ((150 - 3y)²)/16 + y² √3/4

A (y) = ((150 - 3y)²)/16 + y² √3/4 ……………………………………………………..ecuación 3

Derivando la ecuación 3.

(d (Ay))/dy = d/dy [((150 - 3y)²)/16 + y² √3/4)] = d/dy( ((150 - 3y)²)/16 ) + (d/dy y² √3/4)

= - (3* (150 - 3y))/8 + (y√3)/2 =- (450-9y)/8 + (y√3)/2 = - 225/8+ 9y/8 + (y√3)/2 = - 225/8+ 9y/8 + (4y√3)/8

(d (Ay))/dy = - 225/4+ 9y/8 + (4y√3)/8

- 225/4+ 9y/8 + (4y√3)/8 = 0 despejando y se tiene.

9y+4y√3 = 225/4

Y (9 + 4√3) = 450

Lado del triangulo

Y = 450/(9 + 4√3) = 450/15.92820 = 28.25177413 cm.

Sustituyendo a y en la ecuación 2

X = (150 - 3y)/4

Lado del cuadrado

X= (150-3(28.25177413))/4 = 16.3111694 cm.

Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de . ¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando el radio es igual a ?

Tenemos el área de quemada es función del tiempo dr/dt por lo tanto es.

r (t) = 5(t)

A (t) = ¶ r² = ¶ (5(t))² = 25t²¶

La razón de cambio está dada por la velocidad instantánea con respecto al tiempo.

(d(At))/dt= dv/dt = d/dt(25t²¶) = 50t¶

Si r (t) = 5t = 60m

t = 12 min.

¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando el radio es igual a ?

V (12) = 50t¶ = 50(12) (3.1416) = 1884.96 m/min* min/(60 s) = 31.416 m/s

V (12) = 31.416 m/s

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al círculo de tal manera que ambas tangentes pasen por el punto .

Las rectas tienen un vector directo (a, b)

(14, 2) + t (a, b) = 14 + at , 2 + b t en el punto cero tendríamos ( 14, 2+tb)

Por lo que no habría intersección con la circunferencia:

14² + (2+tb)² = 196 + (2+tb)² ˃100

Si establecemos que a ≠ 0 por lo que se divide entre

...