Aplicaciones De La Derivadas Direcionales

INTRODUCCION

La derivada direccional está ligada al Gradiente que viene siendo la generalización de varias funciones de más de una variable. Es muy útil en Matemática, Física y así también en la ingeniería en su totalidad.

Veremos desde las derivadas parciales, diferencial, gradiente y finalmente como es la derivada direccional, para cada uno veremos, cómo se realiza su proceso y daremos un ejemplo de cada uno.

Gracias a las aplicaciones, no solo de la derivada direccional sino a todos los procesos matemáticos que existen, la humanidad tiene facilidades de crear edificios, puentes, desniveles, etc. También es muy útil en el are de la tecnología.

Derivadas parciales

La derivada de una función real y de una variable real x en un punto x0 es lo que varía y por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 .

Se escribe

En funciones reales de más de una variable real se define de la misma forma la derivada para cada una de esas variables. Por ejemplo, para la función de tres variables f (x, y, z) la expresión

Designa la derivada de f (x, y, z) respecto a x en x = x0, cuya definición es;

O sea, se considera x como única variable. Esa derivada es lo que varía f (x, y, z) por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0.

Para poner más claramente de manifiesto que f (x, y, z) es función de más de una variable, en vez de escribir esa derivada como en

Se escribe con la letra delta  del alfabeto griego en lugar de d. Y se lee derivada parcial de

f (x, y, z) respecto a x. Por tanto, derivada parcial de la función f (x, y, z) respecto a x en x0 es

Si ese límite existe es una función del resto de las variables, en este caso de y, z. Y es lo que varía f (x, y, z) por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 para cada par de valores (y, z) .

La función derivada parcial de f (x, y, z) respecto a x da la derivada parcial de

f (x, y, z) para cada valor de x:

y es otra función de x, y, z.

Se ve que la derivada parcial respecto a una variable se obtiene como la derivada de una función cuya única variable fuera la variable respecto a la que se deriva. Por eso las reglas de derivación son las mismas que para una sola variable, considerando las demás como constantes.

En física e ingeniería aparecen de continuo funciones reales de más de una variable real.

Entre ellas magnitudes del espacio ordinario. Por ejemplo, la temperatura tiene un valor en cada punto del espacio. Es, por tanto, una función real T (x, y, z) de las coordenadas de cada punto del espacio, una función real de tres variables reales. El potencial eléctrico tiene también un valor en cada punto del espacio. Ese valor es un número real.

Es, por tanto, una función real V (x, y, z) de las coordenadas de los puntos del espacio2.

Ejemplos

La columna de la derecha expresa que en el punto (0, 2, -1) la función f disminuye 5

Unidades por cada unidad que aumenta x, y que en ese punto f no varía si varían y y z.

Diferencial

Al hallar la derivada parcial de una función respecto a una variable en un punto, el resto de las variables se consideran constantes. Por tanto, la diferencial en ese punto respecto a la variable que se deriva es una diferencial de una función de una variable. Se llama

Diferencial parcial respecto a esa variable o, simplemente, diferencial respecto a esa variable en ese punto. Por ejemplo, la diferencial de f (x, y, z) respecto a x en un punto

(x0, y, z) es

Es la diferencial de f en x0 considerando x como única variable. Es una función lineal de dx para cada par de valores (y, z) . Su valor para dx =1 es el de la derivada parcial de la función en x0 para cada par de valores (y, z) .

La representación gráfica de f (x, y, z) como función solo de x, es una curva del plano para cada par de valores (y, z) . La representación gráfica de, como la de toda diferencial de una función real de una variable real, es una recta de dirección tangente a esa curva en el punto x = x0. Su pendiente es  f x)x0.

Por tanto, la diferencial respecto a una variable x es una aproximación de lo que varía f si se incrementa x una cantidad dx. Exactamente lo mismo que la diferencial de una función real de una sola variable real. Y lo mismo para el resto de las diferenciales respecto a las demás variables de f.

La suma de las diferenciales de f respecto a varias variables se llama diferencial total de

f respecto a esas variables. Por ejemplo, la diferencial de f respecto a x e y en (x0, y0 ) es

Da idea de lo que se incrementa f si se incrementa x una cantidad dx e y una cantidad dy en entornos de (x0, y0 ) , manteniendo z constante. Es una función lineal cuyas variables son dx y dy que aproxima f en entornos de (x0, y0 ) para cada valor fijo de z.

La diferencial total respecto a las tres variables en (x0, y0, z0 ) es

Da idea de lo que se incrementa f si se incrementan x una cantidad dx, si se incrementa y una cantidad dy, y z una cantidad dz a partir de (x0, y0, z0 ) . Es una función lineal de variables dx, dy, dz que aproxima f en entornos de (x0, y0, z0 ) . Si está claro cuáles son las variables de una función, la expresión diferencial total, sin especificación de variables, designa la diferencial respecto a todas las variables. Así, es la diferencial

total de f (x, y, z) .

La diferencial en un punto de funciones reales de varias variables reales tiene la misma utilidad que la diferencial de funciones reales de una variable real: dar idea aproximada de lo que varía la función en cada punto para incrementos de las variables en entornos de esos puntos. Es una aproximación lineal de la función en los entornos de ese punto.

Para conocer aproximadamente esa variación no hace falta conocer la función, sino solo las derivadas parciales en ese punto. El incremento aproximado de f se halla entonces con, sumando los incrementos aproximados debidos a cada variable. Además, como ocurre para las funciones reales de una variable real, todas las funciones que en un punto tengan las mismas derivadas parciales, tienen la misma función

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