Aplicaciones de las integrales

Aplicaciones de las integrales

Jorleidis Valdez Miranda

Código: 1047450885

Grupo: 100411_512

Calculo integral

Tutor:

Sandra Marleny Vela

Universidad nacional abierta y a distancia (UNAD).

escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniera

Ingeniería industrial

2020

Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.

c. Determinar el área de la región limitada por las curvas Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. Nótese que  [pic 1][pic 2]

 [pic 3]

• Sacamos las funciones a trabajar:

[pic 4]

[pic 5]

• Primero tenemos que hallar los puntos de intersección por lo que igualamos las dos funciones:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

• Factorizar :[pic 9]

• Restamos el termino independiente en ambos lados:

[pic 10]

[pic 11]

• Dividimos en ambos lados por el termino que acompaña la y:

[pic 12]

[pic 13]

• Sacamos raíz cuadrada en ambos lados, recordemos que en el lado derecho se obtienen dos resultados:

[pic 14]

[pic 15]

• Graficamos en Geogebra para observar la intersección, en este caso debemos escribir la expresión como x = f(y) o x = g(y):

[pic 16]

Se puede observar que intersecan en (-14, -4) y (18, 4) que viendo la coordenada en y es el resultado que obtuvimos paso a paso.

• Ahora vamos a hallar el área limitada por f(y) y g(y):

• Planteamos la integral, en este caso f(y) está por encima:

[pic 17]

• Reemplazamos:

[pic 18]

• Operamos:

[pic 19]

[pic 20]

• Resolvemos esta integral inmediata, ya hemos trabajado las propiedades antes por lo que no me centraré en explicar las propiedades para llegar a la integral inmediata:

[pic 21]

[pic 22]

• Ya podemos evaluar esa expresión:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

• Comprobamos el resultado en Geogebra, pero en este caso para poder usar la función de integración debemos aplicar que si x = f(y) entonces y = f(x) y así para la otra función, así que reescribimos las funciones, pero en términos de x:

[pic 27]

Se puede observar que llegamos al resultado que nos da el software.

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.

c. Encontrar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje 𝑥 la región encerrada entre las curvas   .[pic 28]

• Graficamos en Geogebra para ver cómo se comporta la función:

[pic 29]

• Observamos que los puntos donde interseca en el eje x son 0 y 1 por lo que evaluaremos en esos valores:

Primero dejemos modifiquemos la gráfica para dejar solo lo que está en la parte positiva del eje x:

[pic 30]

Ahora graficamos la superficie del sólido, a lo cual le hallaremos el volumen de forma teórica:

[pic 31]

• Calculamos el volumen del solido de revolución:

Usaremos la siguiente formula:

[pic 32]

Recordemos f(x):

[pic 33]

Planteamos el problema:

[pic 34]

Resolvemos :[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Volvemos a escribir el problema con los valores hallados:

[pic 39]

Integramos la función :[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Reescribimos para evaluar los límites:

...