Aplicaciones De Las Integrales

Erick Ricardo Terrazas Baeza

Facilitador: Ing. RocioTalina Vázquez

Mantenimiento a Maquinaria Pesada

10/04/15

Cálculo

Aplicaciones de las Integrales

• ‰ El método de Exhaución.

El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el

área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en

regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se

pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que

deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas.

Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados.

Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas

de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las

aproximaciones de los dibujos. Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de

las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida

que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más

exacta.

• ‰ Integral de una función escalonada. Propiedades.

Nos parece interesante, antes de definir la integral de una función cualquiera, estudiar la

integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y

fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales

de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremos de integral de una

función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo

entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.

Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas

x = 0, x = 5 y el eje OX.

• ‰ Integral de Riemann.

Vamos a definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única

condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b].

En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla ∫ ∫ ≤ ≤baba g(x)dx l h(x)dx , a

este número l se le llama integral de f(x) entre a y b.

Se representa: ∫ = b

a l f (x)dx y se lee “integral desde a hasta b, de f(x), diferencial de x”.

Teorema:

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Teorema Fundamental del Cálculo

Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área, A(t), se define de la siguiente

forma: ∫ = t

a A(t) f (x)dx ∀t ∈[ ] a,b . En estas condiciones, si f es continua en [a, b], la

función A es una primitiva de la función f en [a, b].

• Regla de Barrow:

Si f(x) es una función continua en [a, b], y F(x) una primitiva de f(x), es decir, F '(x) = f(x) para

cualquier x ∈ (a, b), entonces:

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte, es un método de cálculo de

integrales definidas

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