Integrales Dobles y Teorema de Fubini

Integrales Dobles y Teorema de Fubini

        Integrales Dobles

Definición:

        Sea  acotada en el rectángulo  decimos que es integrable sobre A y definimos la integral de  sobre A como: [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Si  es una función continua, al igual que ocurría en una variable,  es integrable dado que las funciones que se utilizan en este tema son continuas, todas son integrables.[pic 6][pic 7]

Propiedades:

1. Si  y  son integrables en A, entonces  es integrable en A y [pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

1. Si  es integrable en A y , entonces  es integrable en A y:[pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

1. Si  y  son integrables en A y [pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

1. Si  es integrable en A,  es integrable en A y [pic 20][pic 21][pic 22]
2. Sean y  tales que [pic 23][pic 24][pic 25]

 es integrable en A i y sólo si lo es en  y . En este caso: [pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Teorema de Fubinni

Junto con el teorema del cambio de variable, el teorema de Fubini es una de las herramientas indispensables para hallar el valor de una integral múltiple sobre  reduciéndolo al cálculo de n integrales ordinarias.[pic 30]

Definición del teorema:

Sea  integrable en D[pic 31]

• Si  entonces[pic 32]

[pic 33]

• Si  con  continuas en  y tales que  entonces: [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38]

• Si  con  continuas en  y tales que  entonces:[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43]

        Ejercicios Resueltos

1. Calcular siendo [pic 44][pic 45]

 [pic 46]

1. Calcular siendo [pic 47][pic 48]

 [pic 49]

1. Siendo el recinto D, el siguiente:

[pic 50]

Si [pic 51]

 [pic 52]

 [pic 53]

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