TEOREMAS INTEGRALES

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VICTORIA

INGENIERIA EN SISTEMAS AUTOMOTRICES

[pic 2]

TEMA: TEOREMAS INTEGRALES

MATERIA: CALCULO VECTORIAL

ALUMNO: JOSÉ MIGUEL GONZALEZ CAMACHO

CATEDRATICO: ING. JUAN JULIAN MARTINEZ TORRES

11-ABRIL-2017

INDICE

INTRODUCCIÓN………………………………………………...pág.3

CONTENIDO

TEOREMA DE GREEN…………………………………………………….…pág. 4

TEOREMA DE STOKE…………………………………………………………pág. 5

TEOREMA DE GAUSS………………………………………………………pág. 6

EJEMPLOS………………………………………………...pág. 7-9

CONCLUSIÓN………………………………………….………..pág. 10

BIBLIOGRAFÍA…………………………………………...………pág.11

INTRODUCCION

Los teoremas integrales del Calculo Vectorial permiten relacionar integrales de campos vectoriales a lo largo de regiones del espacio (curvas, superficies) e integrales de sus derivados por operadores vectoriales a lo largo de otras regiones de dimensión mayor (superficies, volúmenes) bajo condiciones adecuadas. Los llamados Teorema de la divergencia y Teorema de Stokes, así como otros deducidos a partir de ellos, tienen importancia fundamental en las matemáticas puras y aplicadas, así como en el estudio de importantes fenómenos físicos, como la difusión del calor, el flujo de fluidos, el estudio de ondas en medios diversos, ondas electromagnéticas, etc.

TEOREMA DE GREEN

Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R² , y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea

F = (P, Q) : D → R² un campo vectorial de clase C¹ . Entonces se tiene que:[pic 3]

se dice que la curva es cerrada si r(a)=r(b). C se dice que es una curva simple si r es inyectiva en (a,b), es decir, si

[pic 4]

Una aplicación muy importante del teorema de Green es el cálculo de áreas de recintos delimitados por curvas cerradas simples mediante una integral de línea sobre el borde de dichas curvas. Si tenemos un recinto D en el plano cuya frontera es una curva cerrada simple C = ∂D y queremos calcular su área, nos basta hallar un campo vectorial (P, Q) tal que  ∂Q/∂x−∂P/∂y = 1 y aplicar entonces la fórmulade Green para expresar el área de D como la integral de línea de (P, Q) sobre su borde C. Por ejemplo, podemos tomar P = −y/2, Q = x/2, de modo que:[pic 5]

Formulas análogas pueden deducirse poniendo (P, Q) = (−y, 0), o bien

(P, Q) = (0, x).

TEOREMA DE STOKES

Definición Dado un campo vectorial F en IR3 cuyas componentes F1, F2, F3 tienen derivadas parciales, se define el rotacional de F, que denotaremos por rot F, como el campo vectorial.

[pic 6]

El cálculo del rotacional se puede hacer de forma sencilla mediante la expresión simbólica.

[pic 7]

Dada una superficie cuya frontera es una curva cerrada simple, la orientación de la superficie induce sobre la curva frontera una orientación que denominaremos positiva. La orientación inducida sobre la curva frontera es el sentido de recorrido que hace que la superficie quede a la izquierda.

Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva frontera C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta de IR3 que contiene a S. Entonces

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TEOREMA DE DIVERGENCIA DE GAUSS

 Dado un campo vectorial F de IR3 cuyas componentes F1, F2, F3 tienen derivadas parciales, se define la divergencia de F, que denotaremos por div F, como el campo escalar.[pic 9]

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