Derivadas parciales, direccionales, vector gradiente e integrales dobles

Derivadas parciales, direccionales, vector gradiente e integrales dobles.

Las derivadas parciales, en cálculo diferencial, se definen como una función de diversas variables, manteniendo las otras como constantes, éstas son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, entre otras.

En estas derivadas parciales, existe la derivada parcial en un punto de una función de dos variables que se conoce como: la derivada de la función de una variable, obtenida haciendo constante la otra variable. En consecuencia se pueden aplicar, con esta interpretación las reglas de derivación de una variable. Un ejemplo visual de lo anterior, podría ser:

[pic 1]

Pueden interpretar físicamente como razones de cambio, variaciones instantáneas o coeficientes de variación de la misma manera que la derivada de una función de una variable. A continuación, una representación visual, para entenderlo mejor:

[pic 2]

Para poner en contexto, podemos agregar algunas situaciones en las que se está presente la solución de un problema, con estas derivadas donde se aplica también, las leyes de diferenciación ordinaria:

[pic 3]

[pic 4]

Además de las derivadas parciales con dos variables, también existen las derivadas parciales con tres variables o n-variables.

Sea una función de n variables,  z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... Por ejemplo:

[pic 5]

Igualmente, existen derivadas de orden superior y mixtas, las primeras son aquellas que comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique y las mixtas son derivadas parciales de segundo orden que involucran variables distintas de entrada. Para entender mejor, he aquí un caso:

1. encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden de f(x, y) = \sin(x)y^2f(x,y)=sin(x)y^2

Primero, hay que encontrar ambas derivadas parciales:

∂x/∂x^2 (sin(x)y^2)=cos(x)y^2

∂y/∂^2 (sin(x)y^2=2sin(x)y^2

Después, se escribe ambas derivadas parciales, para cada una:

[pic 6]

Para poder hablar de derivadas parciales, es necesario conocer sobre la matriz jacobiana, que es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. Para poder analizarlo con facilidad, a continuación, unos sencillos ejemplos:

[pic 7]

[pic 8]

Dentro de este extenso tema, también existen las derivadas totales, que son mejor conocidas por ser la mejor aproximación lineal del valor de la función con respecto a sus argumentos. A diferencia de las derivadas parciales , la derivada total se aproxima a la función con respecto a todos sus argumentos, no sólo una sola. En muchas situaciones, esto es lo mismo que teniendo en cuenta todas las derivadas parciales de forma simultánea. El término "derivada total" se usa principalmente cuando es una función de varias variables, porque cuando es una función de una sola variable, la derivada total es el mismo que el derivado de la función y se dice que una función es diferenciable en un punto, si existe una transformación lineal.

...