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[pic 1][pic 2][pic 3]

Nombre :        C.I.:          [pic 4]

Pregunta 1. Una lámina de cartón rectangular cuyas dimensiones, en centímetros, son variables aleatorias “X e Y”, es usada para construir una caja abierta. Al efecto se realizan cortes de secciones cuadradas de 2cm x 2cm en cada vértice, para permitir el doblaje, tal y como se muestra en la figura:[pic 5][pic 6]

⎧ 1  (2x − 8) , 5 < x < 8 , 5 < y < 14 −x Si fX,Y   x, y        ⎨33[pic 7][pic 8]

⎪⎩0        ,    t.o.l.

, halle la función de densidad del volumen de la caja.

[pic 9]

Solución.

El volumen de la caja es U= 2(X − 4)(Y − 4) .

Método de las Curvas de Nivel[pic 10]

Hay un punto de tangencia en (7,7) cuyo nivel es u=18.

Región 2<u<8

[pic 11][pic 12]

Región 8<u<10

[pic 13][pic 14]

Región 10<u<16[pic 15][pic 16]

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Región 16<u<18[pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27][pic 28]

En definitiva:[pic 29]

⎧0        ,        u < 2

⎪ 1 [pic 30]

⎪32

⎪ 1

⎪

[pic 31]

(u− 2)2

(u− 5)

,        2 ≤ u < 8

,        8 ≤u < 10

F (u) = ⎪11                                                   [pic 32][pic 33]

 1        3        1        1        47

⎪        u−[pic 34][pic 35][pic 36]

+        (18 −u)

+        u 36 − 2u +

,        10 ≤ u < 16

⎪33        11        198        66        99

⎪ 1

⎪[pic 37][pic 38]

⎪99

(2u− 36)

36 − 2u + 1        ,        16 ≤u < 18

⎪⎩1        ,        u ≥ 18

⎧ 1 u− 1 [pic 39]

⎪

,        2 < u < 8

⎪ 1        ,        8 <u < 10[pic 40]

⎪11

⎪ 1        1 [pic 41]

fU(u) = ⎨        +

,        10 <u < 16

⎪33        66

⎪ 1[pic 42]

⎪33[pic 43]

36 − 2u        ,        16 <u < 18

⎪0        ,        t.o.l.

⎪⎩

Método del Jacobiano

Consideremos la transformación :[pic 44]

U= 2(X − 4)(Y − 4)

⎪⎧x =        + 4

 1        1 [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

⎩⎪⎨V = 2(X − 4)

...