Vector Gradiente

La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector

Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f.

Definición 1.2

Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante

, es el vector

Otra notación para el gradiente es grad f(x,y)

Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.

Teorema 1.2

Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es

Ejemplo 1.3

Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)

Solución

Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Como , el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema 1.3.

Aplicaciones del gradiente

Teorema 1.3

Si f es una función diferenciable en el punto (x,y)

1) Si

, entonces

para todo u.

2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por

.

El valor máximo de

es

.

3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por -

.

El valor mínimo de

es -

.

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) denota la altitud del esquiador, entonces - indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña).

Como ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualqueira de una placa metálica plana. En este caso, grad T da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (x,y), como se señala en el ejemplo 1.4.

Ejemplo 1.4

La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiendo x e y en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

Solución

El gradiente es

Se sigue que la dirección de más rápido

...