Vectores

5.Vectores

1. Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas:

F = 260 lb

F = 310 lb

En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se recomienda:

i. Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le vamos a dar es por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es necesario usar el juego geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones tanto para la magnitud como para el ángulo, guardando las proporciones cuando son más de dos vectores. Lo anterior es para darnos una idea global de lo que esperaríamos encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la componente horizontal de F1 es menor que la de F2).

ii. Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector.

iii. Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para identificarlas.

iv. Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones trigonométricas a los triángulos rectángulos que se forman. Cuando el ángulo es mayor de 900, existen dos opciones:

a) La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en el primer cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a las manecillas del reloj.

b) La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto opuesto y el adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado. Adicionalmente, observar hacia dónde apunta el vector para darle los signos (+ , - ) a nuestros resultados, Así por ejemplo, la componente horizontal del vector F2 apunta hacia la izquierda en sentido del eje x- por lo que a tal componente le habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la componente vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-.

Componente rectangular horizontal del vector F1.

Del triángulo rectángulo formado y señalado con sombra, aplicamos la función trigonométrica:

Despejando a la componente horizontal:

Componente rectangular vertical del vector F1.

De la función trigonométrica:

despejamos la componente vertical

Componente rectangular horizontal del vector F2.

De la función trigonométrica

despejando a la componente horizontal:

Componente rectangular vertical del vector F2.

De la función trigonométrica

despejando a la componente vertical:

.

Para éste mismo vector F2, encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo que se forma:

Componente rectangular horizontal de F2 con .

De la función trigonométrica

despejando a la componente horizontal:

.

Como el vector apunta en sentido de x-, le agregamos el signo negativo

F2x = - 268.47 lb.

Componente rectangular vertical de F2 con .

De la función trigonométrica:

despejando a la componente vertical:

.

Como el vector apunta en sentido de y-, le agregamos el signo negativo

F2y = - 155 lb.

2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 N, cuya dirección forma un ángulo de 500 por encima de la horizontal.

Como el ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, aplicamos las relaciones:

Fx = 50 N (cos 500)= 50 N (0.6428) = 32.14 N

Fy = 50 N (sen 500) = 50 N (0.766) = 38.30 N

3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son:

Ax = 10 Bx = -10

Ay = 30 By = 30

En este problema, se nos proporcionan las componentes rectangulares y se nos pide encontrar al vector.

Para encontrar la magnitud, aplicamos el teorema de Pitágoras

Para encontrar la dirección y sentido, aplicamos la función trigonométrica tangente del ángulo. El ángulo viene dado por la tangente inversa del cociente de la componente vertical entre la componente horizontal.

Para el vector A

Para el vector B

Antes de proceder a graficarlos, es pertinente hacer la siguiente aclaración:

Cuando se calcula el ángulo mediante la función tangente inversa, se presenta una complicación debido a que hay dos ángulos menores de 3600 que tienen la misma tangente.

Estos dos ángulos difieren en 1800

Por ejemplo:

tan 250 = 0.466307

tan (250 +1800 )= tan 2050 = 0.466307

Para salvar dicha dificultad, se debe de seguir lo siguiente:

a) Si las dos componentes del vector son positivas, el vector se encuentra en el I cuadrante y el ángulo se calcula directamente de la fórmula.

b) Si las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al resultado obtenido se le suman 1800.

c) Si la componente horizontal es negativa y la vertical positiva, el vector se encuentra en el II cuadrante y al resultado (que es negativo) se le suman 1800.

d) Si la componente vertical es negativa y la horizontal positiva, el vector se encuentra en el IV cuadrante, obteniéndose un ángulo negativo, lo cual nos indica que se mide en sentido de las manecillas del reloj. Para obtener el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, hay que sumarle 3600.

Con las observaciones anteriores, el vector B se encuentra en el II cuadrante por lo que hay que sumarle 1800 al resultado obtenido.

4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores, cuyas componentes son:

Cx = -1 0 Dx = 10

Cy = - 30 Dy = - 30

Como las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al ángulo le sumamos 1800.

Como la componente horizontal es positiva y la vertical negativa, el vector se encuentra en el IV cuadrante, por lo que al ángulo hay que sumarle 3600.

5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 1200 sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.

6. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 400 al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares de su desplazamiento del avión?

7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez

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