CADENAS DE MARKOV (CADENAS ABSORBENTES)

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CADENAS DE MARKOV

(CADENAS ABSORBENTES)

Ing. Manuel Sánchez Terán

CADENAS DE MARKOV

• CADENAS ABSORBENTES

Muchas aplicaciones interesantes de las cadenas de Markov incluyen cadenas en las que algunos de los estados son absorbentes y el resto son transitorios. A esas cadenas se les llama cadenas absorbentes. Siempre que una cadena de Markov tiene estados absorbentes no calculamos probabilidades de estado estable debido a que cada unidad a final de cuentas termina en uno de los estados absorbentes. Con estados absorbentes presentes, estamos interesados en conocer la probabilidad de que una unidad termine en cada uno de los estados absorbentes.

Para ver por qué nos interesan las cadenas absorbentes, describiremos las siguientes dos:

Ejemplo 1: Cuentas por cobrar

El estado de cuentas por cobrar en una empresa se modela con frecuencia como cadena absorbente de Markov. Entonces, al principio de cada mes, se puede clasificar cada cuenta en uno de los siguientes estados específicos:

Estado 1: Cuenta nueva. 

Estado 2:        Los pagos de la cuenta están retrasados un mes. 

Estado 3:        Los pagos de la cuenta están retrasados dos meses. 

Estado 4:        Los pagos de la cuenta están retrasados tres meses. 

Estado 5:        Se ha saldado la cuenta (pagada).

Estado 6:        Se ha cancelado la cuenta por ser mal pagado (incobrable) 

Supongamos que los últimos datos indican que la siguiente cadena de Markov describe cómo cambia el estado de una cuenta de un mes al siguiente:

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Por ejemplo, si al principio de un mes una cuenta lleva dos meses de vencida, hay 40% de probabilidades de que no se pague al principio del mes siguiente y, por lo tanto, que tenga tres meses de retraso y una probabilidad de 60% de que se pague.

Para simplificar el ejemplo, supondremos que después de tres meses, la cuenta o se cobra o se considera incobrable.

Una vez que una deuda es pagada o se considera incobrable, se cierra y no se tienen más transiciones. Por lo tanto. Pagada e Incobrable son estados absorbentes. Como toda cuenta al final o se paga o se considera incobrable, las cuentas Nueva, 1 mes, 2 meses y 3 meses son estados transitorios. Por ejemplo, una cuenta vencida hace 2 meses puede seguir la trayectoria 2 meses-Pagada, pero no hay regreso posible de Pagada a 2 meses.

Una cuenta nueva normal será absorbida ya sea como pagada o como incobrable. Una pregunta de mayor interés es:

¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta nueva finalmente se pueda cobrar?

Más adelante en esta sección se encontrará la respuesta.

Ejemplo 2: Planificación de personal de un estudio de abogados

Un estudio de abogados emplea a tres categorías de abogados: principiantes, con experiencia y socios. Durante un año determinado hay una probabilidad 0.15 que un abogado principiante sea ascendido a abogado con experiencia y una probabilidad 0.05 que deje la empresa. También, hay una probabilidad 0.20 que un abogado con experiencia sea ascendido a socio y una probabilidad 0.10 que deje la empresa. También hay una probabilidad 0.05 que un socio llegue a dejar la empresa. El estudio nunca degrada a un abogado.

Surgen muchas preguntas interesantes que la empresa podría contestar. Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad que un abogado principiante recién contratado se vaya antes de ser socio?

En promedio, ¿cuánto tiempo permanece un abogado principiante recién contratado con la empresa?

Las respuestas se deducirán después en esta sección.

Modelaremos la trayectoria de un abogado como cadena absorbente de Markov con la siguiente matriz de probabilidad de transición:

Pr:                Principiante

Ex:                Experimentado

As:                 Asociado

SNSoc:        Sale no socio

SSoc:        Sale siendo socio

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Los dos últimos estados son estados absorbentes y los demás son transitorios. Por ejemplo. Experimentado es estado transitorio, porque hay una trayectoria de Experimentado a Sale sin ser socio, pero no hay trayectoria que regrese de: Sale sin ser socio a: Experimentado. Suponemos que una vez que un abogado sale de la empresa nunca regresa.

Para toda cadena absorbente se desea conocer:

(1) Si la cadena comienza en un estado determinado transitorio, y puede alcanzar un estado absorbente, ¿Cuántos periodos esperamos pasar en un determinado estado transitorio antes que se efectué la absorción?

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