CIENCIA Y CONOCIMIENTO

Teorema 14. Sea f : S ½ R ! R, derivable en a 2 S con f0(a) > 0 (¶o +1) (respectivamente, f0(a) < 0 (¶o ¡1)).

Entonces, existe un intervalo (a ¡ ±; a + ±) tal que 8x 2 (a ¡ ±; a + ±), x 6= a se tiene:

½

f(x) < f(a) si x < a (respectivamente, f(x) > f(a))

f(x) > f(a) si x > a (respectivamente, f(x) < f(a))

es decir, f es estrictamente creciente localmente en a ( o estrictamente decreciente localmente en a).

Corolario 15 (Condici¶on necesaria de extremo). Si f : S ½ R ! R es derivable en a 2 (b; c) ½ S y f tiene un

m¶aximo o un m¶³nimo relativo en x = a, entonces f0(a) = 0.

Demostraci¶on: Si f0(a) > 0, entonces por el Teorema anterior f ser¶³a localmente estrictamente creciente en un

intervalo (a ¡ ±; a + ±). Luego no tendr¶³a ni m¶aximo ni m¶³nimo en a.

Si f0(a) < 0, entonces por el Teorema anterior f ser¶³a localmente estrictamente decreciente en un intervalo (a¡±; a+±).

Luego no tendr¶³a ni m¶aximo ni m¶³nimo en a.

Luego, f0(a) = 0.

Nota 16. El rec¶³proco no es cierto. Consideremos, por ejemplo, la funci¶on f(x) = x3, donde f0(x) = 3x2, f0(0) = 0.

Pero f no tiene ni m¶aximo ni m¶³nimo en x = 0, siendo su representaci¶on gr¶a¯ca:

–1

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