CINEMATICA

UNIDAD III CINEMATICA

3.1 Sistema de coordenadas

La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica, el movimiento espacial de su extremo.

A sí mismo, para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la posición y orientación de esta con respecto a la base del robot.

Representación de la posición

Un punto queda totalmente definido en el espacio a través de los datos de su posición, sin embargo para el caso de un sólido, es necesario además definir cual es su orientación con respecto a un sistema de referencia.

MATRICES DE ROTACION

Es el sistema mas extendido para la orientaciónes debido a la comodidad del algebra matricial.

Un plano se puede representar como

Un plano móvil

Ahora un punto en el plano fijo

P_f=[F_1x,F_2y ]=F_1 i_xf+F_2 J_yf

Un punto en el plano movil

P_M=[M_1x,M_2y ]=M_1 i_xf+M_2 J_yf

Lo que buscamos es la rotación del sistema de referencia móvil sobre el fijo, entonces tenemos que hacer un mapeo de los dos sistemas usando la representación de cosenos directores (que son los vectores unitarios).

Reinscribiendo

P_F=F_1 i_F1+F_2 J_F2

P_M=M_1 i_M1+M_2 J_M2

(P_F )(P_M )=(F_1 i_F1+F_2 J_F2 )(M_1 i_M1+M_2 J_M2 )

P_X=(F_1 i_F1 )(M_1 i_M1 )+(F_1 J_F1 )(M_2 J_M2 ) COMPONENTE X

P_Y=(F_2 J_F2 )(M_1 i_M1 )+(F_2 J_F2 )(M_2 J_M2 ) COMPONENTE Y

Reinscribiendo matricialmente

P_F=R_F^M P_M

R_F^M=[■(i_F1 i_M1&i_F1 j_M2@j_F2 i_M1&j_F2 j_M2 )]

R_F^M=[■(cos⁡θ&〖cos(π/2+〗⁡〖θ)〗@〖cos(π/2-〗⁡〖θ)〗&cos⁡θ )]

〖cos⁡(π/2+〗⁡〖θ)〗=-sin⁡θ

〖cos(π/2-〗⁡〖θ)〗=sin⁡θ

R_F^M=[■(cos⁡θ&-sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )]

ROTACIÓN DE EJES EN 3 DIMENSIONES

Sea el plano en 3D se muestran uno móvil y otro fijo.

Las rotaciones fundamentales están denotadas por Rot(∅,i_k )

donde:

∅∶significa el angulo de rotacion en radianes

i_k:es el eje en el cual se hace la rotacion

Entonces de los planos anteriormente dibujados Rot(∅,F_1 )

P_F=F_1 i_F1+F_2 j_F2+F_3 k_F3

P_M=M_1 i_M1+M_2 j_M2+M_3 k_M3

〖(P〗_F)(PM)=(F_1 i_F1+F_2 j_F2+F_3 k_F3 )(M_1 i_M1+M_2 j_M2+M_3 k_M3 )

P_X=(F_1 i_F1 )(M_1 i_M1 )+(F_1 J_F1 )(M_2 J_M2 ) +(F_1 J_F1 )(M_3 J_M3 ) COMPONENTE X

P_Y=(F_2 J_F2 )(M_1 i_M1 )+(F_2 J_F2 )(M_2 J_M2 ) +(F_2 J_F2 )(M_3 J_M3 )COMPONENTE Y

P_z=(F_3 J_F3 )(M_1 i_M1 )+(F_3 J_F3 )(M_2 J_M2 ) +(F_3 J_F3 )(M_3 J_M3 ) COMPONENTE Z

R_F^M=[■(i_F1 i_M1&i_F1 j_M2&i_F1 k_M3@j_F2 i_M1&j_F2 j_M2&j_F2 k_M3@k_F3 i_M1&k_F3 j_M2&k_F3 k_M3 )]

R_F^M=[■(1&0&0@0&cos⁡∅&〖-sen〗⁡∅@0&sen∅ &cos⁡∅ )]

R(z,∅)=[■(cos⁡∅&〖-sen〗⁡∅&0@sen∅&cos⁡∅&0@0&0 &1)] R(y,∅)=[■(cos⁡∅&0&sen∅@0&1&0@〖-sen〗⁡∅&0 &cos⁡∅ )]

Representación de Angulo de Euler

Constituyen una representación mínima de la orientación, al efectuar las tres rotaciones elementales respecto a los ejes de referencia, por ejemplo existen xyz, xzy, xzx, yxz, yzx, yxy, zxy, zyz, zxz, zyx.

la combinación mas usual es zyz, que implica girar al sistema fijo F, alrededor del eje z,y luego alrededor del eje y finalmente alrededor del eje z.

R_0^1=M_F^M=R_(z,∅),R_(y,∅),R_(z,∅=) [■(c⁡∅&〖-s〗⁡∅&0@s∅&c⁡∅&0@0&0 &1)][■(c⁡∅&0&s∅@0&1&0@〖-s〗⁡∅&0 &c⁡∅ )][■(c⁡∅&〖-s〗⁡∅&0@s∅&c⁡∅&0@0&0 &1)]

TAREA:

/´

Ejemplo: el vector P_o=(1,1,0) es rotado alrededor del eje y, por noventa grados, y el vector resultante esta dado por P_1=R_(y,π/2) P_0

,

UNIDAD III CINEMATICA

3.1 Sistema de coordenadas

La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica, el movimiento espacial de su extremo.

A sí mismo, para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la posición y orientación de esta con respecto a la base del robot.

Representación de la posición

Un punto queda totalmente definido en el espacio a través de los datos de su posición, sin embargo para el caso de un sólido, es necesario además definir cual es su orientación con respecto a un sistema de referencia.

MATRICES DE ROTACION

Es el sistema mas extendido para la orientaciónes debido a la comodidad del algebra matricial.

Un plano se puede representar como

Un plano móvil

Ahora un punto en el plano fijo

P_f=[F_1x,F_2y ]=F_1 i_xf+F_2 J_yf

Un punto en el plano movil

P_M=[M_1x,M_2y ]=M_1 i_xf+M_2 J_yf

Lo que buscamos es la rotación del sistema de referencia móvil sobre el fijo, entonces tenemos que hacer un mapeo de los dos sistemas usando la representación de cosenos directores (que son los vectores unitarios).

Reinscribiendo

P_F=F_1 i_F1+F_2 J_F2

P_M=M_1 i_M1+M_2 J_M2

(P_F )(P_M )=(F_1 i_F1+F_2 J_F2 )(M_1 i_M1+M_2 J_M2 )

P_X=(F_1 i_F1 )(M_1 i_M1 )+(F_1 J_F1 )(M_2 J_M2 ) COMPONENTE X

P_Y=(F_2 J_F2 )(M_1 i_M1 )+(F_2 J_F2 )(M_2 J_M2 ) COMPONENTE Y

Reinscribiendo matricialmente

P_F=R_F^M P_M

R_F^M=[■(i_F1 i_M1&i_F1 j_M2@j_F2 i_M1&j_F2 j_M2 )]

R_F^M=[■(cos⁡θ&〖cos(π/2+〗⁡〖θ)〗@〖cos(π/2-〗⁡〖θ)〗&cos⁡θ )]

〖cos⁡(π/2+〗⁡〖θ)〗=-sin⁡θ

〖cos(π/2-〗⁡〖θ)〗=sin⁡θ

R_F^M=[■(cos⁡θ&-sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )]

ROTACIÓN DE EJES EN 3 DIMENSIONES

Sea el plano en 3D se muestran uno móvil y otro fijo.

Las rotaciones fundamentales están denotadas por Rot(∅,i_k )

donde:

∅∶significa el angulo de rotacion en radianes

i_k:es el eje en el cual se hace la rotacion

Entonces de los planos anteriormente dibujados Rot(∅,F_1 )

P_F=F_1 i_F1+F_2 j_F2+F_3 k_F3

P_M=M_1 i_M1+M_2 j_M2+M_3 k_M3

〖(P〗_F)(PM)=(F_1 i_F1+F_2 j_F2+F_3 k_F3 )(M_1 i_M1+M_2 j_M2+M_3 k_M3 )

P_X=(F_1 i_F1 )(M_1 i_M1 )+(F_1 J_F1 )(M_2 J_M2 ) +(F_1 J_F1 )(M_3 J_M3 ) COMPONENTE X

P_Y=(F_2 J_F2 )(M_1 i_M1 )+(F_2 J_F2 )(M_2 J_M2 ) +(F_2 J_F2 )(M_3 J_M3 )COMPONENTE Y

P_z=(F_3 J_F3 )(M_1 i_M1 )+(F_3 J_F3 )(M_2 J_M2 ) +(F_3 J_F3 )(M_3 J_M3 ) COMPONENTE

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