CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO POR

CAPÍTULO 8

CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO POR

ELEMENTO FINITO

8.1 GENERALIDADES

El método del elemento finito (MEF en español o FEM en inglés) es un método numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales, utilizado en diversos problemas de ingeniería y física.

El método se basa en dividir el cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que están definidas ciertas ecuaciones integrales que caracterizan el comportamiento físico del problema (figura 8.1), en una serie de subdominios no intersectantes entre sí denominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también llamada discretización.

FIGURA 8.1 Ejemplos de discretización

Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes sí pertenecen al mismo elemento finito, además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos (figura 8.2). El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se conoce como

MODELADO DE PROCESOS DE MANUFACTURA

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malla. Los cálculos se realizan sobre una malla o discretización creada a partir del dominio con programas generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas), la matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos.

Típicamente, el método del elemento finito se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones cinemáticas y constitutivas, las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecánica de sólidos deformables o más generalmente un problema de mecánica del medio continuo. El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones).

FIGURA 8.2 Discretización para aplicaciones geológicas

Además, el método es fácilmente adaptable a problemas de difusión del calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones, o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia, en la práctica ingenieril, los métodos numéricos y, en particular, los elementos finitos se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.

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Una importante propiedad del método es la convergencia, si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones

8.2 HISTORIA

Diversos autores han considerado que Arquímedes (figura 8.3) utilizó un método semejante al del elemento finito para determinar el volumen de algunos sólidos. Aunque él calculó áreas, longitudes y volúmenes de objetos geométricos, dividiéndolos en otros más sencillos y luego sumando sus contribuciones, el concepto de aproximación variacional no se observa por ningún lado. La relación con la definición de MEF es muy pobre. Se puede argumentar que la medida del volumen (área, longitud) de un objeto es una función escalar de su geometría. Cambiando “medida” por energía y “objetos” por elementos en las líneas anteriores, la descripción se aproxima a lo establecido por el MEF “la energía del sistema es igual a la suma de la energía de cada elemento”. Sin embargo, Arquímedes necesitaba las definiciones de derivada para realizar sus cálculos de energía y el Cálculo no fue inventado sino hasta 20 siglos después.

FIGURA 8.3 Arquímedes de Siracusa

En 1941, Hrenikoff presentó una solución para problemas elásticos usando el “método de trabajo del marco”. En un artículo publicado en 1943, Courant usó interpolación polinomial por partes sobre subregiones triangulares para modelar problemas de torsión. Las ideas básicas del método del elemento finito se originaron en el análisis estructural de las aeronaves. En el periodo de 1950-1962, Turner trabajando para Boeing formula y

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perfecciona el Método por Rigidez Directo. Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos y presentaron sus resultados en 1956. Clough fue el primero en acuñar y emplear el término elemento finito en 1960.

En los primeros años de la década de 1960, los ingenieros usaron el método para obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de fluidos, transferencia de calor y otras áreas. Un libro de Argyris, publicado en 1955, sobre teoremas de energía y métodos matriciales, cimentó métodos adicionales en los estudios de elemento finito. El primer libro sobre elementos finitos por Zienkiewicz y Cheng fue publicado en 1967. A finales de la década de 1960 y principios de la siguiente, el análisis por elemento finito se aplicó a problemas no lineales y de grandes deformaciones. El libro de Oden sobre continuos no lineales apareció en 1972.

8.3 DELIMITACIÓN DEL MÉTODO

El campo de la mecánica puede ser subdividido en tres áreas (figura 8.4). La mecánica teórica estudia las leyes y principios fundamentales de la mecánica, pero considerando solo su valor científico. La mecánica aplicada transfiere el conocimiento teórico hacia aplicaciones científicas y de ingeniería, atendiendo principalmente la construcción de modelos matemáticos que representen fenómenos físicos. La mecánica computacional resuelve problemas específicos aplicando métodos numéricos implementados en computadoras digitales (simulación).

FIGURA 8.4 Ramas de la Mecánica

Mecánica computacional

Varias ramas de la mecánica computacional pueden distinguirse de acuerdo a la escala física en que se enfocan (figura 8.5)

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FIGURA 8.5 Ramas de la mecánica computacional

La nanomecánica trata con fenómenos de la materia a nivel molecular y atómico. Por ésta razón se encuentra ligada a la física y química de las partículas. La micromecánica, por su parte, trabaja a nivel cristalográfico y granular de la materia.

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