Cadenas De Markov

CADENAS DE MARKOV

Introducción

Un proceso o sucesión de eventos que se desarrolla en el tiempo en el cual el resultado

en cualquier etapa contiene algún elemento que depende del azar se denomina proceso

aleatorio o proceso estocástico. Por ejemplo, la sucesión podría ser las condiciones del

tiempo en Paraná en una serie de días consecutivos: el tiempo cambia día a día de una

manera que en apariencia es algo aleatoria. O bien, la sucesión podría consistir en los

precios de las acciones que cotizan en la bolsa en donde otra vez interviene cierto grado

de aleatoriedad.

Un ejemplo simple de un proceso estocástico es una sucesión de ensayos de Bernoulli,

por ejemplo, una sucesión de lanzamientos de una moneda. En este caso, el resultado en

cualquier etapa es independiente de todos los resultados previos (esta condición de

independencia es parte de la definición de los ensayos de Bernoulli). Sin embargo, en la

mayoría de los procesos estocásticos, cada resultado depende de lo que sucedió en

etapas anteriores del proceso. Por ejemplo, el tiempo en un día determinado no es

aleatorio por completo sino que es afectado en cierto grado por el tiempo de días

previos. El precio de una acción al cierre de cualquier día depende en cierta medida del

comportamiento de la bolsa en días previos.

El caso más simple de un proceso estocástico en que los resultados dependen de otros,

ocurre cuando el resultado en cada etapa sólo depende del resultado de la etapa anterior

y no de cualquiera de los resultados previos. Tal proceso se denomina proceso de

Markov o cadena de Markov (una cadena de eventos, cada evento ligado al precedente)

Estas cadenas reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov

(1856-1922). Como mencionamos antes, estas cadenas tiene memoria, recuerdan el

último evento y eso condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esto justamente

las distingue de una serie de eventos independientes como el hecho de tirar una moneda.

Este tipo de proceso presenta una forma de dependencia simple, pero muy útil en

muchos modelos, entre las variables aleatorias que forman un proceso estocástico. Se

utilizan, por ejemplo, para analizar patrones de compra de deudores morosos, para

planear necesidades de personal, para analizar el reemplazo de un equipo, entre otros.

Definición

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual

cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la

probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del

ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

Propiedad de Markov: Dada una secuencia de variables aleatorias ...... , , , X1 X2 X3

,

tales que el valor de Xn

es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de

probabilidad condicional de Xn+1

en estados pasados es una función de Xn

por sí sola,

entonces:

P(X x /X x )

P(X x /X x , X x ,....X x , X x )

n 1 n 1 n n

n 1 n 1 n n n 1 n 1 2 2 1 1

= =

= = = = = =

+ +

+ + − −

Donde i

x es el estado del proceso en el instante i.

Esta identidad es la denominada propiedad de Markov: El estado en t + 1 sólo depende

del estado en t y no de la evolución anterior del sistema

Matriz de transición

Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo es útil pensar la sucesión de ensayos

como experimentos efectuados en cierto sistema físico, cada resultado dejando a este

sistema en cierto estado.

Por ejemplo, consideremos una sucesión de elecciones políticas en cierto país: el

sistema podría tomarse como el país mismo y cada elección lo dejaría en cierto estado,

es decir en el control del partido ganador. Si sólo hay dos partidos políticos fuertes,

llamados A y B, los que por lo regular controlan el gobierno, entonces podemos decir

que el país se encuentra en el estado A o B si el partido A o B ganara la elección. Cada

ensayo (o sea cada elección), coloca al país en uno de los dos estados A o B. Una

sucesión de 10 elecciones podría producir resultados tales como los siguientes:

A, B, A, A, B, B, B, A, B, B

La primera elección en la sucesión deja en el poder al partido A, la segunda fue ganada

por el partido B, y así sucesivamente, hasta que la décima elección la gane el partido B.

Supongamos que las probabilidades de que el partido A o B ganen la próxima elección

son determinadas por completo por el partido que está en el poder ahora. Por ejemplo

podríamos tener las probabilidades siguientes:

• Si el partido A está en el poder, existe una probabilidad de ¼ que el partido A

ganará la próxima elección y una probabilidad de ¾ de que el partido B gane la

elección siguiente.

• Si el partido B está en el poder, hay una probabilidad de 1/3 de que el partido A

gane la elección siguiente y una probabilidad de 2/3 que el partido B permanezca en

el poder.

En tal caso, la sucesión de elecciones forman una cadena de Markov, dado que las

probabilidades de los dos resultados de cada elección están determinadas por el

resultado de la elección precedente.

Lo descrito anteriormente puede representarse gráficamente usando la siguiente red:

La información probabilística que se acaba de dar se puede representar de manera

conveniente por la siguiente matriz:

















3/1 3/2

4/1 4/3

A

B

1/4

3/4

2/3

1/3

Resultado de la próxima elección

A B

Resultado de la A

última elección B

Los círculos A y B se denominan

nodos y representan los estados del

proceso, las flechas que van de un

nodo a si mismo o al otro son los

arcos y representan la probabilidad

de cambiar de un estado al otro 3

Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

Esta matriz se denomina matriz

...