Calculo De Volumenes

Cálculo de volúmenes

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

Método del disco

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = R w2π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución

general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido en discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo.

Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es πR2w2 , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

A. El eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

• Se traza un diagrama indicando el área generatíz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo generico.

• Se halla el volúmen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos.

• Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectágulos crece indefinidamente.

Ejemplo

Hallar el volúmen generado al girar el área limitada por la parábola alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2.

Dividiendo el área mediente franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volúmen . El volúmen pedido será:

B. El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana

• Se procede como en el apartado (1) anterior.

• Se prolongan los lados del rectángulo genérico, ABCD, hasta que corten al eje de rotación en E y en F. Cuando éste rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilíndro cuyo volúmen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje.

• Se halla la diferencia

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