Calculo Vectorial

ELIPSOIDE

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

FORMA GRAFICA

ECUACION

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

TRAZAS

XY: elipse X2 + Y2 =1

A2 B2

XZ: elipse X2 + Z2 =1

A2 C2

YZ: elipse Y2 + Z2 =1

B2 C2

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

,

en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas

FORMA GRAFICA

ECUACION

TRAZAS

XY: elipse X2 + Y2 =1

A2 B2

XZ: elipse X2 - Z2 =1

A2 C2

YZ: elipse Y2 - Z2 =1

B2 C2

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

es decir

.

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)•(X+Y) = 1, luego:

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:

(una hoja) (dos hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:

Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.

FORMA GRAFICA

ECUACION

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