Calculo Vectorial

Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que

son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues

para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la

línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y

tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con

exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres

vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son

perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

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Magnitudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas

por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre

otras:

Masa

Temperatura

Presión

Densidad

Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico,

una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

Vector

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos

considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

Un origen o punto de aplicación: A.

Un extremo: B.

Una dirección: la de la recta que lo contiene.

Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

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Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente

del lugar en el que se encuentra.

Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos

a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k

Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores unitarios y componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en

la dirección de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo

módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la

expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

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Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que

tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del

paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de

dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad

asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.

Suma de Vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo,

consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un

paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de

ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

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Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera

que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un

vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos

visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se

puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo

...