Cambio de base

Ya sabemos que todo vector de un espacio vectorial se escribe en una base, de forma única, mediante sus coordenadas, pero se puede considerar mas de una base para ese mismo vector, este se tendría que escribir de forma distinta con coordenadas distintas en cada una de las bases consideradas, y la relación que tendrían las coordenadas de la base B a las coordenadas de la base B’ seria lo que es considerado como el Cambio de base

Cambio de base

Sea (V, +, K) un espacio vectorial, si B= {v1, …, vn} y B’= {u1, …, un} que son 2 bases cualesquiera de espacio vectorial V, tales ue se conocen las expresiones de cada valor ui de la base B’ como combinación línea de los vectores de la base B y respectivamente las expresiones de cada vector vj de la base de B como combinación lineal de los vectores de la base B’:

[pic 1]

Entonces para todo vector x ∈ V de coordenadas x1, x2, …, xn respecto a la base B y coordenadas x’1, x’2, …, x’n respecto a la base B’ se verifican las siguientes relaciones denominadas ecuaciones de cambio de coordenadas de la base B’ a la base B:

[pic 2]

Y en ecuaciones de cambio de coordenadas de la base B a la base B’:

[pic 3]

Sea x ∈ V un vector de coordenadas de x1, x2, …, xn respecto de la base B y x’1, x’2, …, x’n respecto de la base de B’: [pic 4]

Si en la expresión de x respecto a la base de B’ se sustituye cada vector ui por su expresión en función de los vectores de la base B, se obtiene:

[pic 5]

Es decir:

[pic 6]

En donde, por ser única la expresión de un vector como combinación lineal de los vectores de una base, resulten las ecuaciones de cambio de coordenadas de la base B’ a la base B

[pic 7]

De forma análoga se obtienen las ecuaciones de cambio de coordenadas de la base B a la base B’

Ejemplo 1
[pic 8]

Ejemplo 2 m[pic 9]

Matrices de cambio de base

Sea (V, +, K) un espacio vectorial, dadas 2 bases B= {v1, …, vn} y B’= {u1, …, un} del espacio vectorial V para todo vector x ∈ V de coordenadas x1, x2, …, xn respecto a la base B y coordenadas x’1, x’2, …, x’n respecto a la base B’, las ecuaciones de cambio de coordenadas de la base B’ a la base B se expresan matricialmente de la forma:

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