Campos Vectoriales

Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales

Definición de campo vectorial

Sea D un subconjunto de Rn. Un campo vectorial en Rn es una función que asigna a cada vector ÎD un vector ÎRm. Si el codominio es R, suele decirse que F es un campo escalar.

En el estudio del movimiento de fluidos los campos vectoriales aparecen con mucha frecuencia, como el campo de velocidades que se muestra a continuación:

Una aplicación médica del uso de campos escalares se encuentra en la dirección

http://www.alasbimnjournal.cl/revistas/13/gallitotal.html

Un campo vectorial en R3 suele representarse como

donde F1, F2 y F3 son campos escalares.

Operadores diferenciales

En el curso de Cálculo Integral se estudio que si f es una función escalar de tres variables, el gradiente de f es

Es decir, a partir de una función escalar, se construye una función o un campo vectorial.

Esta expresión puede entenderse como la multiplicación del “vector” por el “escalar” f. Sin embargo, no es un vector, sino una transformación que convierte cada función escalar en un vector de tres componentes.

En R3 el operador del o nabla, denotado por , se define como

Definiciones de operadores diferenciales

Sea un campo vectorial en R3.

La divergencia de F se define como

que también se denota, en forma abreviada, como

es decir, como si se tratara de un producto escalar.

Si F es el campo de velocidades de un fluido y V es el volumen de un elemento del fluido entonces la divergencia tiene la interpretación geométrica

es decir, la divergencia de F representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo de gas. Si la divergencia es positiva significa que el gas se está expandiendo; si es

negativa, el gas se esta contrayendo.

Se dice que F es un campo solenoidal o incompresible si su divergencia es cero.

El rotacional de F se define como

o, en forma abreviada,

como si se trata de un producto vectorial.

Si un campo vectorial representa el flujo de un fluido, entonces en un punto es el doble del vector velocidad angular de un cuerpo rígido moviéndose con el fluido en ese punto

Se dice que F es un campo irrotacional, gradiente o conservativo si su rotacional es el vector cero.

Teorema

Sean f y F un campo escalar y un campo

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