Categorización Electrón en un pozo finito.
Enviado por stiven lopez guzman • 2 de Noviembre de 2015 • Apuntes • 615 Palabras (3 Páginas) • 161 Visitas
Tarea 2
Por: Stiven López Guzmán – Santiago Ramírez Aguilar
Conceptualización
En la mecánica cuántica, los dos modelos más simples de considerar una partícula atrapada son la partícula confinada en una caja (o partícula en pozo infinito), en la que cuando esta se acerca a alguna de las paredes de la caja, se choca con una barrera de energía infinita que la repele inmediatamente de vuelta al interior, por lo que es imposible que salga, es decir, la función de onda y la densidad de probabilidad son 0 cuando X>L ó X<0.
El segundo modelo es el de partícula en un pozo cuadrado finito. Una partícula clásica con energía E mayor que la altura U del pozo puede cruzar la región comprendida entre x = 0 y x = L y penetrar en la región externa, donde se moverá con menor velocidad, pues su energía cinética disminuyó a E – U. Clásicamente, sería imposible pensar que una partícula pueda pasar una barrera de energía potencial mayor a la que ella posee, pero cuánticamente es posible, siempre que la barrera no sea infinita. Para estados estacionarios, la función de onda se encuentra a partir de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Categorización
Electrón en un pozo finito.
Punto a
Análisis
Lo dividiremos en tres regiones, como se muestra en la figura 1:
- x ≤ 0.
- 0 < x < L
- x ≥ L
[pic 1]
Figura 1. Regiones del problema
En la región I el potencial U(x) es U(x) = U, entonces la Ecuación de Schrödinger es:
en región I.[pic 2]
En la región II el potencial es 0
en región II[pic 3]
En la región III es el mismo que en I
en región III.[pic 4]
Se soluciona la región II:
→ [pic 5][pic 6]
Con [pic 7]
[pic 8]
Luego se soluciona en la región I y III:
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
Con [pic 12]
Tenemos que E < U, esto se traduce en que es negativo, podemos hacerlo explícito. Tenemos que será imaginario.[pic 13][pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Con [pic 17]
Tenemos que [pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Entonces la lista de soluciones
Región I:
con [pic 21][pic 22]
Región II:
con [pic 23][pic 24]
Región III:
[pic 25]
Se puede simplificar si hacemos que Ψ sea finito. En la región 1, si hacemos que x → ∞ porque queremos que Ψ sea ∞ (tienda a cero) entonces:
Región I:
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Haciendo finito[pic 29]
B = 0
En la región I:
[pic 30]
Similarmente, haciendo la región III finita con . Región III:[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
E = 0, entonces en la región III:
[pic 35]
Región I: [pic 36]
Región II: [pic 37]
Región III: [pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
(1)[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
(2)[pic 44]
En X = L
[pic 45]
(3)[pic 46]
[pic 47]
(4)[pic 48]
(2) / (1)
[pic 49]
[pic 50]
(4) / (3)
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
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[pic 56]
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[pic 59]
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[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
Con
[pic 65]
[pic 66]
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[pic 68]
...