Circulo De Morh

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III

Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

CIRCULO DE MOHR

para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio

Autores:

Ing. Federico Antico Sr. Santiago Pezzotti

Revisado por:

Ing. Juan Pablo Durruty

-2008-

Circulo de Mohr:

• Breve reseña:

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

• Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

figura 1

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente.

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ. Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

– σx .A x − τθ .Aθ .senθ + σθ .Aθ .cos θ = 0

(1)

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

−σy .Ay + τθ .Aθ .cos θ + σθ .Aθ .senθ = 0

(2)

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

– σx .cos θ − τθ .senθ + σθ .cos θ = 0, donde Aθ ≠ 0 (1-1)

−σy .senθ + τθ .cos θ + σθ .senθ = 0, donde Aθ ≠ 0 (2-2)

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

0 = −σ x .cos2 θ − σ y .sen 2θ + σθ

(3)

Y considerando las relaciones trigonométricas:

cos2 θ =

(1 +cos 2θ)⎫

⎪

2 ⎪

sen

2θ =

(1 −cos 2θ) ⎪

⎬(4)

Se llega a:

2 ⎪

senθ.cos θ = sen2θ ⎪

⎭

(σx + σ y ) (σ x − σ y )

σθ =

+ .cos 2θ (5)

2 2

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

(σx − σ y )

τθ = −

.s en2θ (6)

2

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la

circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

sen2θ+ cos2 θ = 1,

⎡ (σx + σy )⎤ ⎡ (σx − σy )⎤

⎢σ −

⎥ + τ 2 = ⎢ ⎥

⎢ θ 2 ⎥

θ ⎢ 2 ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma

⎛ (σx + σ y )⎞

⎜ ⎟ y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene

⎝ ⎠

valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

τ

τθ σθ

2θ

σx σ y σ

Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.

El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones.

• Teoría del círculo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales:

1. Introducción:

Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.

O

Sean las tensiones σi

tetraedro.

y las áreas Ai

correspondientes a cada una de las i caras del

El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir de la siguiente ecuación vectorial:

...