Conceptos Básicos de Álgebra

CONCEPTOS BÁSICOS DE ALGEBRA

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En esta unidad se abordarán conceptos algebraicos básicos en los cuales se utilizan símbolos para representar variables en operaciones matemáticas. Estos conceptos   se deben tener en cuenta para aplicar en los diferentes problemas de las asignaturas: pre-cálculo, cálculo diferencial e integral, algebra lineal y estadística.

Potenciación

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Potencia de un número es el producto obtenido al multiplicar dicho número por si mismo una o varias veces. Se hablará entonces de la primera, segunda, tercera…. potencia de un número según que se tome dicho número una, dos, tres… veces como factor, por ejemplo:  

   3·3·3·3·3·3 = 36 

Generalizando se dice que la potencia es el producto de varios factores iguales donde se involucran dos factores importantes llamados  base y exponente

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Ejemplos

a) 23 = 2·2·2 = 8

b) 52 = 5·5 = 25

c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8

d) (–5)2 = (–5) · (–5) = 25

e) –23 = – (2·2·2) = –8

f) –52 = – (5·5) = 25

g) x3 = x · x · x = x3 

Dentro de la potenciación es importante que tenga en cuenta las siguientes propiedades

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Multiplicación                     [pic 5]     

División                [pic 6]         [pic 7]      [pic 8]

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Potencia de un producto         [pic 10]

Potencia de un cociente           [pic 11][pic 12]

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Potencia de una potencia       [pic 14]

Potencia de exponente cero             [pic 15]  [pic 16][pic 17]

Potencia negativa        [pic 18]   [pic 19][pic 20]

Radicación

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La radicación es una operación inversa a la potenciación donde se tiene un número real x y un número natural n > 1, se define entonces lo siguiente:

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Es importante recalcar que b no existiría si x es negativo donde x < 0

Ejemplos:

•  porque [pic 23][pic 24]
•  porque [pic 25][pic 26]
•   no existe dentro de los números reales ya que   y [pic 27][pic 28][pic 29]

Dentro de la Radicación es importante que tenga en cuenta las siguientes propiedades:

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[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 35][pic 34]

[pic 37][pic 36]

[pic 38]

[pic 39]

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Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es la representación de una o varias operaciones matemáticas por medio de símbolos

Por ejemplo:

[pic 41], [pic 42], [pic 43], [pic 44]

Es importante tener en cuenta que estas expresiones sirven para generalizar operaciones matemáticas y nos sirven para llegar a diferentes resultados tales como: averiguar el área de una cancha de futbol, el volumen de agua en una piscina, etc.

• Las partes de una expresión algebraica

Observa  la siguiente expresión algebraica en la que se distinguen  4 partes:

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1. El signo que antecede al término (-). Esto indica que el término es negativo
2. El coeficiente que es la parte numérica del producto (15)
3. Las letras[pic 46]
4. Los exponentes de las letras (2 y 3)

• Resta y suma de expresiones algebraicas

Si se quiere sumar las siguientes expresiones  (a + b), (2a – 3b) y – (4a+ b) se pueden  colocar una enseguida de las otras con el signo correspondiente. Así:

(a + b) + (2a – 3b) – (4a+ b) =

a + b + 2a – 3b – 4a – b =

– a – 3b

Pero si de la primera expresión se quiere restar las dos últimas entonces se encierra dentro de un corchete. Así:

(a + b) – [(2a – 3b) – (4a+ b)] =

(a + b) – (2a – 3b) + (4a+ b) =

a + b – 2a + 3b + 4a + b =

3a + 5b

Se debe tener en cuenta[pic 47]

CASO 1: Cuando el signo (+) antecede el paréntesis no interviene en la operación.  + (a – 2b) = a – 2b  

CASO 2: Cuando el signo (–) antecede el paréntesis si interviene en la operación. 

           [pic 48]

Igualdad, identidad

Una igualdad es por definición una expresión matemática de dos cantidades que tienen un mismo valor.

                10 = 6 + 4

       -12 = -7 - 5

                  a = b + c

Si dos expresiones que contienen la misma letra o letras son iguales para cualquier valor que se dé a las letras se dice que dichas expresiones son idénticamente iguales. Así:

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