Teoría del Portafolio y Álgebra de Matrices - Conceptos Básicos

Teoría del Portafolio y Álgebra de Matrices - Conceptos Básicos

Probablemente la aplicación más importante del álgebra matricial en finanzas es para resolver problemas de asignación de cartera.

Supongamos que tenemos un conjunto de N acciones que están incluidas en una cartera P con pesos w1,w2, . . . ,wN y suponga que sus rendimientos esperados se escriben como E(r1),E(r2), . . . ,E(rN). Podríamos escribir los N × 1 vectores de pesos, w, y de rendimientos esperados, E(r), como

[pic 1]

El rendimiento esperado de la cartera, E(rP ) se puede calcular como E(r)′w.

La matriz de varianza-covarianza

La matriz de varianza-covarianza de los rendimientos, denotada por V, incluye todas las varianzas de los componentes de los rendimientos de la cartera en la diagonal principal y las covarianzas entre ellos como elementos fuera de la diagonal.

La matriz de varianza-covarianza de los rendimientos puede escribirse

[pic 2]

Por ejemplo:

σ11 es la varianza de los rendimientos de la acción uno, σ22 es la varianza de los rendimientos de la acción dos, etc.

σ12 es la covarianza entre los rendimientos de la acción uno y los de la acción dos, etc.

Construcción de la matriz de varianza-covarianza

Para construir una matriz de varianza-covarianza, primero necesitaríamos configurar una matriz que contenga observaciones sobre los rendimientos reales, R (no los rendimientos esperados) para cada acción donde la media, ri (i = 1, . . . ,N ), se ha sustraído de cada serie i.

Escribiríamos

[pic 3]

La entrada general, rij, es la j-ésima observación de la serie de tiempo sobre la i-ésima acción. Entonces, la matriz de varianza-covarianza simplemente se calcularía como V = (R′R)/(T − 1)

La varianza de los rendimientos de la cartera

Supongamos que quisiéramos calcular la varianza de los rendimientos de la cartera P

Un escalar que podríamos llamar VP

Lo haríamos calculando VP = w′V w

Comprobando la dimensión de VP, w′ es (1 × N), V es (N × N) y w es (N × 1), por lo que VP es (1 × N × N × N × N × 1), que es ( 1 × 1) según sea necesario

Podríamos definir una matriz de correlación de rendimientos, C, que sería

[pic 4]

Esta matriz tendría unos en la diagonal principal y los elementos fuera de la diagonal darían las correlaciones entre cada par de rendimientos

Tenga en cuenta que la matriz de correlación siempre será simétrica con respecto a la diagonal principal

Utilizando la matriz de correlación, la varianza de la cartera es VP = w′SCSw

donde S es una matriz diagonal que contiene las desviaciones estándar de los rendimientos de la cartera.

Selección de ponderaciones para la cartera de varianza mínima

Aunque en teoría la cartera óptima en la frontera eficiente es mejor, una cartera que minimiza la varianza a menudo se desempeña bien fuera de la muestra.

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