UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE CONTROL I

UNIDAD I

CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE CONTROL I

1.1.- Definiciones.

a).- Sistema de Control.

Es un conjunto de elementos o partes que se relacionan con el objetivo de controlar a una variable. Algunas de las variables que comúnmente se controlan en un sistema son:

• Temperatura: T(t) de una habitación o de un cuerpo.
• Posición longitudinal x(t) de la cual se puede obtener su derivada que es conocida como velocidad: v(t)=dx(t)/dt. Podría ser el control de la altura de un líquido en el llenado o vaciado de un tanque.
• Posición angular θ(t) de la cual se puede obtener la velocidad angular al derivarla así como su transformada de Laplace correspondiente.

ω(t)=dθ(t)/dt        Ω(s)=s Θ(s)

• Velocidad angular ω(t) como sucede en el motor de corriente directa controlado en el inducido.

b).- Sistemas de control de lazo abierto y con realimentación.

Ejemplo: Considérese el análisis de un divisor de tensión como el de la figura.

[pic 2][pic 1]

[pic 3]

La función de transferencia (fdt) puede ser definida mediante el uso de un bloque como aparece en la figura y del cual se dice que es una representación gráfica del sistema eléctrico y que en general se le llamará diagrama de bloques del sistema. Este diagrama describe a un sistema sin usar la realimentación (lazo abierto).

[pic 5][pic 4]

Pero este mismo sistema puede describirse también con otro diagrama al manipular las ecuaciones.

[pic 6]

[pic 8][pic 7]

c).- Diagrama de bloques típico.

De los resultados anteriores es posible obtener un diagrama de bloques general como el mostrado en la figura y del cual se puede obtener su fdt.

[pic 10][pic 9]

[pic 11]

[pic 12]

Donde:

[pic 13]

[pic 15][pic 14]

[pic 16]

[pic 18][pic 17]

d).- Sistemas estáticos y sistemas dinámicos.

Cuando la salida de un sistema en cualquier tiempo t depende solamente de la entrada en ese tiempo t se dice que tal sistema es estático o sistema sin elementos que almacenen energía o información (sin memoria).

Otra forma de definir estos sistemas es decir que los cambios en la entrada aparecen instantáneamente en la salida. Un ejemplo de tales sistemas es el divisor de tensión analizado anteriormente, donde, definidas las resistencias R1 y R2 la salida dependerá exclusivamente de la entrada.

[pic 19]

Si ahora se considera el circuito RC de la figura la ecuación diferencial que caracteriza a este sistema dinámico es:

[pic 20]        [pic 21]

En este caso se tiene un elemento que almacena energía, la respuesta vo(t) en cualquier tiempo t estará dada por la solución de la ecuación diferencial y esta solución depende de la entrada en un tiempo t y de la energía almacenada previamente (memoria) en el capacitor.

Otra manera de definir a este tipo sistemas es decir que los cambios en la entrada no suceden instantáneamente en la salida más bien suceden suavemente. En general los sistemas dinámicos se describirán por ecuaciones diferenciales.

[pic 23][pic 22]

Si se consideran condiciones iniciales iguales a cero (esto significa que la tensión del capacitor es igual a cero) la solución de la ecuación diferencial en función de la excitación es:

[pic 24]                [pic 25]

e).- Sistemas lineales y no lineales.

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria donde y(t) y x(t) representan a la salida y entrada respectivamente se describe mediante la siguiente ecuación:

[pic 26]

A esta ecuación se le conoce como ecuación diferencial lineal y cumple con la condición n > m.

El aspecto fundamental de los sistemas lineales es que cumplen con el principio de proporcionalidad y principio de superposición.

Cuando las a’s son constantes al sistema se le conoce como sistema lineal invariable en el tiempo.

Ejemplos:

[pic 27]

Cuando por lo menos una de las a’s es función de la variable dependiente y(t) o de sus derivadas entonces se dice que el sistema es no lineal.

Ejemplos:

[pic 28]                [pic 29]

Si por lo menos una de las a’s es función de la variable independiente t al sistema se le identifica como sistema lineal variable en el tiempo.

[pic 30]

Puede suceder que por lo menos una de las a’s sea función de las dos variables, la independiente y la dependiente, en tal caso se trata de un sistema no lineal y variable en el tiempo.

Ejemplo:

[pic 31]

En un curso de esta naturaleza no se tratará con ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo: Considere el circuito RC en serie con RC=1 segundos a).- Obtenga la respuesta voa(t) ante una excitación escalón unitario u(t); b).- Determine la respuesta vob(t) ante un escalón unitario atrasado 2 segundos u(t-2); c).- Si la condición inicial del capacitor es vo(0)=-2 ¿Cuál será ahora la respuesta voc(t) a un escalón unitario?

[pic 32]        [pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36][pic 37]

Debe notarse que las respuestas voa(t) y vob(t) son iguales solo desplazadas 2 segundos una de la otra que es lo propio de los sistemas lineales invariables en el tiempo. También nótese que las condiciones iniciales distintas de cero solo impactan a la respuesta transitoria y no a la de estado permanente (1).

...