Conceptos básicos De Probabilidad

Conceptos Básicos de Probabilidad

Debido a que el proceso de obtener toda la información relevante a una población particular es difícil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para estimar la información necesaria para la toma de decisiones.

Muestra ( n ) inferencia Población

_

X = estimado de μ = 7.5

Tomemos por ejemplo una compañía como Elly Lilly de Puerto Rico. Si la empresa desea introducir un nuevo producto al mercado, sería absurdo pretender que toda

la población pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base a los resultados de esa muestra se decide si el

producto se elabora o no. Ahora bien, como los resultados obtenidos a partir de

una muestra difieren de los resultados que se obtendrían si se observara la población total o universo, existe un riesgo al tomar la decisión. Es en este caso que

se utiliza la PROBABILIDAD como una medida de riesgo.

DEFINICIONES BASICAS

Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }

Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;

S = { HH, HT, TH, TT } S = { 4 }

Evento. Es el resultado de un experimento.

Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer.

En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.

Cuando los eventos se representan en un diagrama de Venn ( ver más adelante ) se denominan puntos muéstrales.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.

Ejemplos de eventos simples y compuestos

Evento simple: Lanzamiento de un dado

A = { evento que salga un # impar }

A = { 1, 3, 5 }

B = { el número sea ≤4 } = { 1, 2, 3, 4 }

Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas

A = el evento de observar una cara

A = {HH, HT, TH, TT }

Existen varias maneras de representar un espacio muestral particular. Consideremos dos de ellas;

a) mediante una tabla de contingencia

b) mediante un diagrama de Venn

a. Tabla de Contingencia o de clasificación cruzada

En una tabla de frecuencia los datos se organizan de modo que sólo consideramos una variable a la vez. A los fines de estudiar de manera simultánea la repuesta de

dos variables categóricas, se utiliza lo que se conoce como una tabla de contingencia. Para este tipo de tabla se establece una clasificación cruzada entre las variables

analizadas. Por ejemplo, se puede relacionar mediante una tabla de contingencia las variables sexo ( m, f ) y el área de estudio (concentración); sexo y rango

académico; ventas de productos por área geográfica y tipo de productos, etc.,

El ejemplo que se presenta a continuación clasifica las variables por rango académico y sexo.

Rango académico

Sexo

Instructor Auxiliar Asociado Profesor

Hombre 100 170 80 50 400

Mujer 90 145 50 25 310

190 315 130 75 710

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Pregunta, ¿puedes construir una tabla de probabilidad basado en la tabla de contingencia? Adelante!!!!!!!!!!!!

b. CONJUNTOS. Operaciones con Conjuntos

Un diagrama de Venn ayuda a visualizar un experimento. Se representa por un diagrama rectangular representando el espacio muestral S y que contiene los eventos simples marcados por E1, E2,……, E6 . Como un evento A es una colección de eventos simples, los puntos muéstrales de ese evento se localizan en el interior del evento A ( E2, E3, E6 )

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos de A, de B o de ambos.

A ∪B = C { x / x A, x B o x a ambos }

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.

A ∩B = C { x / x A y x B }

Complementos. El complemento de un conjunto A que se denota por Ac es el evento que consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están contenidos en A.

Ac = { x ∈S x ∉A }

Ac + A = S

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.

A ∩B = { }

Técnicas de Conteo.

El análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos.

Principio de Multiplicación:

Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será, (n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)

Ejemplos.

1) Lanzar dos dados: (n1) • (n2) = ( 6 ) • ( 6 ) = 36

2) Suponga que se desea formar un comité de tres miembros en el cuál se elegirá un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Hay dos candidatos para

la presidencia, 4 para la vicepresidencia y 3 para el tesorero. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?

# de formas para escoger presidencia : 2

# de formas para escoger vicepresidencia : 4

# de formas para escoger el tesorero : 3

# formas para escoger las posiciones: 2 • 4 • 3 = 24

Definición de Factorial. El símbolo n! que se lee “ n factorial “ se refiere al producto de todos los enteros desde n hasta 1.

n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ( n – 3 ) ……….3.2.1

definición: 0 ! = 1 ( cero factorial es 1 )

ejemplos; 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ∴5 ! = 5 . 4 !

4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 4 ! = 4 . 3 !

3 ! = 3 . 2 . 1 3 ! = 3 . 2 !

2 ! = 2 . 1

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Muestras Ordenadas.

Permutación ( P ). Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.

n = # de datos r = grupo tomado de n ( r < n )

Caso 1. ( n = r )

n

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