Concepto Básico de Probabilidades

Concepto Básico de Probabilidades

La teoría de probabilidad estudia aquellos experimentos cuyos resultados son aleatorios y descubre leyes para la construcción de modelos que describen situaciones reales. El estudio de las probabilidades invade prácticamente todos los ámbitos de las ciencias.

Un experimento es un proceso o actividad que conduce a un resultado u observación, el cual puede variar entre una y otra ejecución.

Para que un experimento sea aleatorio debe presentar dos características importantes, la primera de ellas tiene que ver con la posibilidad de determinar un conjunto, espacio muestral, que reúna todos los posibles resultados que puede tener; la segunda tiene que ver con la imposibilidad de que los resultados de repeticiones tengan un comportamiento igual o predecible.

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, se denota por.

En general los resultados obtenidos en experimentos aleatorios no son determinísticos pero el estudio probabilístico de fenómenos aleatorios permiten planteamientos más científicos y organizados para la solución de problemas. De hecho muchas de las mediciones sobre las que se fundamenta la ciencia no son exactas. Por ejemplo la longitud de un tornillo que se produce por una máquina, la resistencia de una viga, entre otros.

Mas aún, muchos problemas aunque se planteen y resuelvan como determinísticos no lo son, en realidad son probabilísticos. Si una máquina debe programarse para controlar el llenado de botellas de refresco, de manera tal que cada botella lleve 500 ml de líquido, usualmente no es posible la exactitud en el proceso de llenado, sólo se logra que en promedio cada botella contenga 500 ml pero algunas tendrán más y otros menos.

Cuando se tiene un experimento probabilístico, cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de evento o suceso.

Basados en la experiencia, a cada evento se le asigna una medida de qué tan factible es. Esta medida se refleja en un número en el intervalo [0,1]. Entre más factible sea el resultado, mayor es la medida que se le asigna, la cual se llama probabilidad.

Concepto clásico de probabilidades

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por , etcétera, son elementos del espacio .

Probabilidad Clásica o a Priori

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A

Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas)

P(de que salga una cara al tirar 2 monedas )

Ejemplo 2: P(de que salga un varón al tomar 2 bebés y observar su sexo)

 Evento O Suceso

Se considera un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde son una serie de posibles resultados.

Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

 Tipos de eventos

• Evento simple o suceso elemental

Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muéstrales y sucesos elementales:

• Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.

• Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

• Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .

Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

• Otros sucesos

• Un evento compuesto es un subconjunto .

• Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama también evento seguro o cierto, y al segundo, evento imposible.

• Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos excluyentes.

• Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.

Propiedades

Dados dos eventos y , entonces:

• El evento ocurre si y ocurren a la vez.

• El evento ocurre si por lo menos ocurre , o ambos.

 Axiomas Y Teoremas De La Probabilidad

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

Axiomas Definición:

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados porKolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogóro

Primer axioma: .

La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

Ejemplo: La probabilidad

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