Concursos Internacionales De Matematicas

22° Olimpíada Matemática del Cono Sur

Prueba de Selección (preparatoria)

Primer día

1. Hallar todos los números enteros positivos n para los que existe un múltiplo de 11 que tiene la suma de sus dígitos igual a n.

2. Inicialmente hay una pila con 360 piedras. Nico y Maxi juegan al siguiente juego. Por turnos quitan piedras de la pila. Maxi comienza el juego. En cada jugada, el jugador puede retirar exactamente 1 o exactamente m o exactamente n piedras de la pila. Gana el jugador que retira la última piedra. Antes de comenzar el juego, Nico fija el valor de n, con . A continuación Maxi fija el valor de m, con y , y comienza el juego.

Determinar si alguno de los dos puede fijar su número para asegurarse la victoria, si los dos juegan a ganar.

3. Sea ABC un triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda AD es la bisectriz del ángulo del triángulo ABC y corta al lado BC en L; la cuerda DK es perpendicular al lado AC y lo corta en M. Si , calcular .

ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita del triángulo ABC es la que pasa por sus tres vértices.

Segundo día

4. Un palíndromo multiplicativo es un número que no empieza con 0, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda y que se puede expresar como multiplicación de dos enteros positivos tales que el segundo es igual al primero pero leído de derecha a izquierda (como 4831 y 1384). Por ejemplo, 20502 es un palíndromo multiplicativo, pues y 20502 es un palíndromo.

Determinar todos los palíndromos multiplicativos de 5 dígitos.

5. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 33. En cada paso se eligen dos números del pizarrón tales que uno divida al otro, se borran y se escribe el cociente entero de los dos números recién borrados. Este procedimiento se repite hasta que no haya en el pizarrón ningún número que divida a otro. Determinar la menor cantidad de números que pueden quedar al final en el pizarrón.

6. Dado un entero positivo n, denotamos a la suma de los n primeros números primos (positivos): , etc. Determinar si existen dos términos consecutivos de la sucesión que sean ambos cuadrados perfectos.

XXXIV TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES

OTOÑO 2012 DEL HEMISFERIO NORTE

NIVEL JUVENIL (Secundaria)

1. Un número entero tiene exactamente dos dígitos distintos. Se sabe además que el número tiene por lo menos diez dígitos, y que si dos dígitos son vecinos entonces son distintos. Determinar la mayor potencia de dos que puede dividir a este número.

2. Charly y Diego juegan el siguiente juego. Para empezar, Charly coloca 222 nueces en 2 cajas. Diego sabe como fueron distribuidas y elige un entero N de 1 a 222 inclusive. A continuación Charly mueve, si fuera necesario, una o más nueces a la tercera caja, que está vacía, de modo que una o dos cajas contengan en total exactamente N nueces. Diego gana todas las nueces que movió Charly. Determinar la mayor cantidad de nueces que Diego puede asegurarse de ganar, no importa como actúe Charly.

3. En algunas casillas de un tablero de hay escrito un +. Se sabe que el número total de + en el tablero es par, y también es par el número de + en cada uno de los subtableros de . Demostrar que el número total de + en la diagonal principal del tablero también es par.

ACLARACIÓN: Un subtablero de consta de cuatro casillas adyacentes, o sea, con un vértice común.

4. Sea ABC un triángulo. Sean I su incentro, y X, Y, Z los incentros de los triángulos AIB, BIC y AIC respectivamente. El incentro del triángulo XYZ coincide con I. Determinar si es necesariamente verdadero que entonces el triángulo ABC es regular (equilátero). Si es verdadero, demostrarlo. Si no, mostrar un ejemplo con las propiedades que no sea equilátero.

ACLARACIÓN: El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados y se obtiene como intersección de las bisectrices.

5. Un automóvil se mueve en una pista circular en el sentido de las agujas del reloj. A mediodía, Pedro y Pablo se ubican en dos puntos diferentes de la pista. Algún tiempo después los dos finalizan simultáneamente sus tareas y comparan sus anotaciones. El automóvil pasó por el punto de cada uno al menos 30 veces. Pedro notó que en cada vuelta el auto pasó un segundo más rápido que la vuelta anterior, mientras que Pablo observó lo contrario: cada vuelta la pasó un segundo más despacio que la anterior. Demostrar que Pedro y Pablo estuvieron en la pista por lo menos durante una hora y media.

6. a) Adentro de una circunferencia hay marcado un punto A. Dos rectas perpendiculares trazadas por A cortan a la circunferencia en cuatro puntos. Demostrar que el baricentro de estos cuatro puntos no depende de la elección de las dos rectas.

b) Adentro de una circunferencia hay dibujado un polígono regular de 2n lados, de centro A (A no necesariamente coincide con el centro de la circunferencia). Las semirrectas que parten de A y pasan por los vértices del polígono marcan 2n puntos en la circunferencia. Luego se rota el polígono alrededor de A. Las semirrectas que parten de A hacia las nuevas ubicaciones de los vértices marcan 2n puntos nuevos en la circunferencia. Sean O y N los baricentros de los puntos viejos y de los nuevos, respectivamente. Demostrar que .

ACLARACIÓN: Dados n puntos con , las coordenadas del baricentro son , .

7. Pedro y Pablo juegan al siguiente juego. Primero, Pedro elige un entero positivo a con la suma de sus dígitos igual a 2012. Pablo quiere conocer este número; él solo sabe que la suma de los dígitos del número de Pedro es 2012. En cada movida, Pablo elige un entero positivo x y Pedro le dice cual es la suma de los dígitos de . Determinar el mínimo número de movidas con las que Pablo puede conocer con certeza el número de Pedro.

XXXIV TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES

OTOÑO 2012 DEL HEMISFERIO NORTE

NIVEL MAYOR (Preparatoria)

1. Sea una sucesión infinita de números. Se sabe que para cada entero positivo k existe un entero positivo tal que . Determinar si esta sucesión es necesariamente periódica, o sea, si existe un entero positivo T tal que para cada entero positivo k.

2. Charly y Diego juegan el siguiente juego. Para empezar, Charly coloca 1001 nueces en 3 cajas. Diego sabe como fueron distribuidas y elige un entero N de 1 a 1001 inclusive. A continuación Charly mueve, si fuera necesario, una o más nueces a la cuarta caja, que está vacía, de modo que una o más cajas contengan en total exactamente

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