Conductores Y Aislantes

INTRODUCCIÓN

El presente informe tiene como objetivo principal dar a conocer algunos aspectos de potencial eléctrico, aplicando procedimientos matemáticos en la resolución de los problemas planteados.

Incentivando de alguna manera el análisis y/o razonamiento matemático en los estudiantes unefistas.

En ese sentido, se describen conceptos y definiciones de potencial eléctrico, potencial eléctrico debido a una carga puntual, potencial eléctrico debido a un grupo de cargas puntuales. Además de ejercicios propuestos y resueltos, de manera tal, que se internalice lo investigado a través de esta Triple AAA.

POTENCIAL ELÉCTRICO

Definimos el potencial eléctrico como la energía potencial eléctrica por unidad de carga, así

El potencial puede ser negativo o positivo dependiendo del signo de la carga. La unidad internacional para el potencial eléctrico es el voltio:

Para una carga puntual el potencial es

y para una distribución continua de carga

Es posible determinar el campo eléctrico si el potencial eléctrico es conocido. Veamos.

esto es,

donde es la componente del campo eléctrico paralela al desplazamiento. Así,

Esto quiere decir que el campo eléctrico apunta en la dirección que disminuye el potencial. Si el potencial depende en general de las coordenadas rectangulares , entonces

y podemos calcular las componentes rectangulares del campo eléctrico a través de

También para reforzar lo antes dicho, se puede definir en un punto en un espacio en donde existe un campo eléctrico, es el trabajo necesario para llevar una carga de prueba de desde un cualquier infinitamente distante (punto de referencia donde se considera que el potencial eléctrico tiene valor cero) al punto de consideración dividido entre el valor de la carga transportada. Es importante notar que dividir la carga entre la carga transportada hace que el Potencial Eléctrico no dependa de la magnitud de la carga transportada.

El potencial eléctrico generado a una distancia r de una carga puntual Q se puede determinar de acuerdo a la formula

V=k

Como se puede observar, el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica guardan una relación similar a la que existe entre el campo eléctrico y la fuerza eléctrica. El campo magnético indica la fuerza eléctrica para una unidad de carga eléctrica, y el potencial eléctrico indica la energía potencial para la unidad de carga eléctrica. Al igual que la energía potencial, el potencial eléctrico es un escalar.

El potencial eléctrico es muy importante cuando se analizan circuitos eléctricos, ya que en la medida en que haya una diferencia de potencial entre dos puntos, es decir, que el voltaje en esos puntos sea diferente, se tendrá flujo de corriente eléctrica del punto de mayor potencial al punto de menor potencial eléctrico.

Las líneas formadas por puntos de igual potencial eléctrico se conocen como líneas equipotenciales. Estas líneas son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

La fuerzas de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.

dW=F•dl=F•dl•cosθ=F•dr.

donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q en la dirección radial.

Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

FORMA DIFERENCIAL DEL POTENCIAL ELÉCTRICO

Recordamos que el potencial eléctrico puede ser expresado como:

También recordemos que el diferencial de una función se puede expresar como:

por lo que un diferencial de un potencial eléctrico puede ser expresado como:

Si sacamos el diferencial al potencial en la ecuación que relaciona con el campo eléctrico tendremos:

pero y por último si consideramos que para tenemos un desplazamiento pequeño tendremos:

EL POTENCIAL ELÉCTRICO NECESARIO PARA DESPLAZAR UNA CARGA PUNTUAL DESDE UN PUNTO B A UN PUNTO A

Recordemos primero que el campo de una carga puntual esta determinado en forma radial como se muestra a continuación, sin embargo, recordemos que el hecho de haber tomado un campo conservativo le resta importancia a ese hecho.

sustituyendo en la ecuación que define al campo eléctrico tendríamos:

Obsérvese que se ha tomado el diferencial de línea de las coordenadas esféricas.

EL POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

Cuando existe una distribución de carga en un volumen finito con una densidad de carga conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto por que la definición de potencial involucra el campo eléctrico.

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga tendremos:

Finalmente podemos integrar sobre todo el volumen para obtener:

Nótese que la variable R es la distancia a al punto con respecto a cada diferencial de volumen en cada punto del objeto cargado y por tanto depende de las coordenadas, lo cual implica el hecho de no poder sacarlo de la integral. No deberá de confundir la variable r con la variable R.

De manera similar podemos encontrar el potencial eléctrico de cualquier distribución, bien sea de línea o de superficie y que puede ser expresados como:

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