Conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología.

Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de el.

A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.

¿Qué es un elemento?

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto.

Por ejemplo, par los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto. Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, por que ellos son alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares.

Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo

¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto?

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

• Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

• Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique}

Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano

¿Qué es la relación de pertenencia?

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}

B= índice, entonces

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

Ejemplo, A = {x/x es mes del año}

B= índice, entonces

Señale los tipos de conjuntos que conoce

Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento

Ejemplo: M={x/x es mes del año}

Por que sabemos que el último mes es Diciembre

Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento

Ejemplo: M={x/x es número natural}

Por que no sabemos que cual es el último mes es el último número

Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

Ejemplo: U={x/x es un animal}

A={x/x es un mamífero}

B={x/x es un reptil}

Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}

Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.

Conjunto de números impares múltiplos de 2.

Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto.

Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:

{x/x es un número natural}

{x/x es un día de la semana}

son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.

Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).

Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:

p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}

¿Qué es un conjunto universo?

Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

Ejemplo: U={x/x es un animal}

A={x/x es un mamífero}

B={x/x es un reptil}

¿Cuándo dos conjuntos son iguales?

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.

¿Cuándo establece la inclusión o contenencia entre dos conjuntos?

El conjunto A esta incluido en B si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y se escribe:

A esta incluido en B

1. Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en si mismo. Esto se expresa de la siguiente forma: VA =>, A cA que se lee: «para todo conjunto A se verifica que A está incluido en A».

2. Propiedad antisimétrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A está incluido

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