Control con predictor de retardos de Smith

Control con predictor de retardos de Smith

En los años cincuenta, Smith desarrolló un regulador para sistemas monovariables con grandes retardos. La estructura de control con predictor de Smith se muestra en la figura 1. El problema de controlar la salida y(s) del sistema se reduce a determinar la función transferencia del predictor de Smith gk(s) de forma que la ecuación característica del sistema en bucle cerrado no esté afectada por los retardos. Aplicando las reglas del álgebra de bloques, se puede demostrar la salida del sistema viene dada por la ecuación:

[pic 1]

Figura 1. Diagrama de bloques con predictor de retardo de Smith para sistemas monovariables

[pic 2]                           (1).

En la ecuación (1) se comprueba que la ecuación característica del sistema dada por la ecuación (2) depende de los retardos r y p:

[pic 3]                              (2)

El predictor de Smith se determina igualando la ecuación característica a ella misma pero sin retardo, o sea:

[pic 4]           (3)

de donde se obtiene la función transferencia buscada gk(s):

[pic 5]                                   (4).

Para el caso más general de sistemas multivariables con retardos en distintos bucles de control, el diseño del compensador es más complejo, aunque básicamente se utilizan las mismas ideas anteriores. El diagrama de bloques para un sistema multivariable se muestra en la figura 2. Se observa que su estructura es similar al de un sistema monovariable La matriz transferencia equivalente de los bloques punteados viene dada por:

[pic 6]                              (5)

y a partir del diagrama de bloques se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

[pic 7]

Figura 2.Diagrama de bloques con predictor de Smith para un sistema multivariable

[pic 8]                            (6)

[pic 9]                                    (7)

Sustituyendo U(s) de la ecuación (6) en la ecuación (7), se obtiene:

[pic 10]             (8)

De acuerdo con la ecuación (8) la salida del sistema viene dada por la ecuación:

[pic 11]      (9)

y la matriz característica del sistema es:

[pic 12]                                    (10)

que está afectada por los retardos de la función transferencia del proceso G(s) y de la matriz de la realimentación H(s). Teniendo en cuenta la ecuación (5), la matriz [pic 13]se puede escribir de la forma:

[pic 14]                 (11)

en donde la matriz auxiliar R(s) se define como:

[pic 15]                                         (12).

La inversa de la matriz característica del sistema (ecuación (10)) se puede transformar teniendo en cuenta las ecuaciones (11) y (12) de la forma:

[pic 16]    (13).

De la ecuación (13) se deduce:

[pic 17]  (14)

Tomando la matriz inversa de la ecuación (14) se obtiene:

[pic 18] (15).

Considerando el valor de la matriz R(s) definida por la ecuación (15), la matriz característica del sistema es:

[pic 19]  (16).

En la ecuación (16) se observa que la matriz característica del sistema depende de los retardos introducidos por la matriz transferencia del proceso G(s) y por la matriz de realimentación H(s). Para eliminar el efecto de estos retardos basta con tomar la matriz transferencia del predictor de la forma:

[pic 20]                              (17)

siendo H*(s) y G*(s) las funciones transferencia H(s) y G(s) pero sin retardo. De acuerdo con la ecuación (17), la matriz característica del sistema se reduce a:

[pic 21]                                 (18)

y el compensador (18) ha eliminado los retardos. Obsérvese, que el compensador predictor de la ecuación (17), consigue que los retardos no influyan en la estabilidad del sistema en lazo cerrado, siempre que el modelo de la planta se conozca exactamente. En la práctica, los errores y aproximaciones en el modelado hacen que siempre aparezcan incertidumbres, por lo que se debe ser conservativo en el ajuste de los parámetros del regulador convencional Gr(s). Las ideas anteriores se pueden aplicar al control de la columna de destilación con extracciones laterales, para estudiar como se comporta el sistema ante grandes retardos. Para las columnas que separan las mezclas metanol-agua y acetona–agua, la matriz H*(s) es simplemente la matriz identidad, y Los valores de las matrices G*(s) se deducen de las ecuaciones de las columnas acetona-agua y metanol-agua, o sea:

[pic 22]                                (19).

[pic 23]                                   (20)

Las matrices transferencia del predictor de Smith para los casos anteriores son:

[pic 24]                     (21)

[pic 25]                               (22)

Simulación del sistema con predictor de retardos de Smith

Para estudiar el comportamiento del sistema se ha preparado un programa de simulación con Matlab de forma que cada uno de los bloques del sistema indicados en la figura 2 se construyen descomponiendo las matrices transferencia en cada uno de sus elementos, los cuales son a su vez matrices transferencia simples. La estructura del sistema se muestra en la figura 3, la cual refleja la estructura de las matrices transferencia de las columnas acetona-agua y metanol-agua. Puesto que el predictor de retardos tiene la misma estructura que dichas funciones transferencia (ecuaciones (21) y (22)), la misma estructura de la figura (3) se puede utilizar, sin más que sustituir las gij(s) de las matrices de las citadas columnas por las gijk(s) de las ecuaciones (21) ó (22).

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