Curvas En El Espacio

Curvas en el espacio

Sea el vector posición de un punto en el espacio, , una constante, t un parámetro que puede ser el tiempo.

Estudiemos +

Además

Como el módulo del vector es r, su extremo estará siempre sobre una circunferencia de radio r.

La figura siguiente muestra el recorrido del extremo de cuando t varía de 0 a .

Si examinamos la ecuación de vectorial de una recta que pasa por P(0,1,1) y Q(1,2,3).

Vemos que para que R(x,y,z) esté sobre la recta , para algún número real t.

Por lo tanto , con parámetro t, recorre tal tipo de curva.

Una mas amplia explicación se encuentra en Stewart , cap. 10, secc. 10.1, pags. 704 a 710.

En Stewart , capítulo 10, a partir de la siguiente gráfica y la definición ,

Se concluye que es tangente a la curva descrita por el extremo (x,y) del vector . (Pags. 710 a 715, cap. 10, Stewart ).

Para obtener el vector de longitud 1, tangente a la curva, se utiliza como es usual

Estos resultados se generalizan a los vectores en dimensión 3.

Además, si , tenemos que , en donde son derivadas convencionales en una variable.

Ejemplo

Sea . Por lo tanto , donde

. Luego ,

Por lo tanto

Vemos que para obtener la derivada del vector (en la variable t), basta con derivar cada una de sus componentes con respecto a t. Recordemos de nuevo que el vector unitario, tangente a la curva es .

Longitud de una curva

Stewart , pag. 716, cap. 10, señala que la longitud S, de la curva

Ejemplo:

La curva + , , r constante, es una circunferencia de radio r.

, donde ,

Por lo tanto

Luego S = = r.

Coincidiendo con un resultado bastante conocido, la fórmula de la longitud de la circunferencia de radio r.

De (1) se concluye (2) .

La expresión diferencial será utilizada mas adelante.

Trabajo desarrollado por una fuerza al describir una curva.

El trabajo de una fuerza que se mueve sobre una línea recta, se define como W =F S, si la fuerza está en la misma dirección que el movimiento, siendo S el espacio recorrido. Cuando el ángulo entre la fuerza y la recta sobre la cual se aplica, es , el trabajo será

W =F cos S = .

Donde es un vector de longitud S y en la dirección del desplazamiento de la fuerza, sobre la recta en la cual se aplica la fuerza.

En el caso de una fuerza variable (vector ) que se aplica sobre una curva, se define el trabajo como:

W=

En donde , es un vector unitario en la dirección de la recta tangente a la curva y la integral sobre la curva C se calcula como se señala a continuación.

Si denota el producto escalar o producto interno de vectores, la integral

.

Se denomina la integral de línea de , ya que el trabajo depende no sólo de la fuerza si no también de la forma de la curva C.

No es un vector, sino un número que varía a lo largo de C.

Se define, ver Stewart , pag. 925, cap. 13

Donde es un punto intermedio entre dos puntos Pi-1,Pi de la curva y es la longitud de la curva entre dichos puntos.

La curva se ha dividido en infinitas porciones, como se hace siempre que se define una integral.

Es claro que debe haber una diferencia entre

, ,

Estas diferencias se estudiarán mas adelante en mayor detalle.

Recordando que la ecuación (2) de la página 3

, definiremos

=

En donde aparentemente se ha efectuado un cambio de variable, con el correspondiente cambio de los límites de integración.

Por lo tanto

= , en donde

Ejemplo: Evaluar , en donde C es la mitad superior del círculo unitario

Solución: Al utilizar el ángulo t como parámetro tenemos que:

O lo que es lo mismo: .

Por lo tanto: =

Luego: = =

=2 =

Nota: al integrar , se tuvo en cuenta que o sea que si , entonces .

La integral , se denomina la integral de línea de respecto a la longitud de arco.

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