Cálculo de probabilidades y variables aleatorias

4. Cálculo de probabilidades y variables aleatorias

4.2 introducción

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un experimento concreto, los métodos analizados en los capítulos anteriores pueden considerarse suficientes. No obstante, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos del tipo de los que han sido estudiados, entonces estos métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso inteligente de la teoría de la probabilidad.

Comenzamos este bloque interpretando la noción de probabilidad y la terminología subyacente a esta área de las matemáticas, ya que la probabilidad constituye por sí misma un concepto básico que refleja su relación con la faceta del mundo exterior que pretende estudiar: los fenómenos aleatorios, los cuales obedecen unas ciertas reglas de comportamiento. De alguna manera, el concepto de probabilidad, se relaciona o nos recuerda las propiedades de la frecuencia relativa.

A partir de ella, y junto con las definiciones de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes, se deducen los teoremas fundamentales del Cálculo de Probabilidades.

Nos centraremos posteriormente en el eslabón que une la teoría de la probabilidad y la estadística aplicada: la noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera, como puede emplearse la teoría de la probabilidad para sacar conclusiones precisas acerca de una población en base a una muestra extraída de ella, y que muchos de los estudios estadísticos son de hecho, estudio de las propiedades de una o más variables aleatorias.

Tal como hemos citado anteriormente, en las aplicaciones prácticas es importante poder describir los rasgos principales de una distribución, es decir, caracterizar los resultados del experimento aleatorio mediante unos parámetros. Llegamos así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria introduciendo los conceptos de esperanza y varianza matemática, relacionándolos con los conceptos de media y varianza de una variable estadística.

________________________________________

El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.

________________________________________

Para trabajar con el cálculo de probabilidades es necesario fijar previamente cierta terminología. Vamos a introducir parte de ella en las próximas líneas.

4.4 Experimentos y sucesos aleatorios

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1.

Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2.

Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3.

El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra E. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

Cualquier subconjunto de E será denominado suceso aleatorio, y se denotará normalmente con las letras A, B,...

Obsérvese que los sucesos elementales son sucesos aleatorios compuestos por un sólo elemento. Por supuesto los sucesos aleatorios son más generales que los elementales, ya que son conjuntos que pueden contener no a uno sólo, sino a una infinidad de sucesos elementales --y también no contener ninguno.-- Sucesos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades son los siguientes:

4.4.0.0.0.1 Suceso seguro:

Es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es decir, el mismo E

4.4.0.0.0.2 Suceso imposible:

Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. Como debe ser un subconjunto de E, la única posibilidad es que el suceso imposible sea el conjunto vacío

4.4.0.0.0.3 Suceso contrario a un suceso A:

También se denomina complementario de A y es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con el símbolo

Figura: Representación gráfica de un suceso aleatorio , y de su suceso contrario

4.4.0.1 Ejemplo

Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:

4.6 Operaciones básicas con sucesos aleatorios

Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:

4.6.0.0.0.1 Unión:

Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente), es decir

Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro:

Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si y , el suceso unión de A y B es:

4.6.0.0.0.2 Intersección:

Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,

A veces por comodidad se omite el símbolo para denotar la intersección de conjuntos, sobre todo cuando el número de conjuntos que intervienen en la expresión es grande. En particular podremos usar la siguiente notación como equivalente a la intersección:

Un ejemplo de intersección es la de un suceso aleatorio cualquiera, , con su complementario, , que es el suceso imposible:

Volviendo al ejemplo del dado,

4.6.0.0.0.3 Diferencia:

Dados dos sucesos aleatorios , se llama suceso diferencia de A y B, y se representa mediante , o bien A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B:

...