Cálculo diferencial. Recta numérica, números reales

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHINÁ

TRABAJO: INVESTIGACIÓN

CALCULO DIFERENCIAL  

DOCENTE:

JOSÉ TRINIDAD CRUZ VÁZQUEZ

ALUMNO:

ROLANDO HERNÁNDEZ ESCAMILLA

Ciclo Escolar

Enero – Julio 2025

Chiná, Campeche a 1 de febrero del 2025

ÍNDICE

Portada…………………………………………………………………………………… 1

Índice……………………………………………………………………………………… 2

Introducción............................................................................................................. 3

La recta numérica…………………………………………………………………………4

Los números reales……………………………………………………………………….5

Propiedades de los números reales…………………………………………………….5

Tricotomía…………………………………………………………………………………..7

Transitividad………………………………………………………………………………..7

Densidad……………………………………………………………………………………8

Axioma del supremo………………………………………………………………………8

Conclusión................................................................................................................9

Bibliografía………………………………………………………………………………..10

INTRODUCCION

Esta investigación aspira a contestar los conceptos sobre los que se construye todo el cálculo, números reales, recta numérica y las propiedades de los números reales.

La asignatura contiene los conceptos básicos y esenciales para cualquier área de la ingeniería y trabajar en este tipo de trabajos de investigación contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico.

1. La recta numérica

La recta numérica es una herramienta indispensable en el campo de las matemáticas, que no solo facilita la comprensión de los números, sino que también sirve como un recurso fundamental en la enseñanza.

Iniciando tendremos que saber la definición de la recta numérica, entonces la recta numérica es una línea recta en la que cada punto representa un número, los números están dispuestos en una secuencia ordenada, donde a la izquierda se encuentran los números menores y a la derecha los números mayores.

Ahora pasamos a las características de la recta numérica, la recta numérica presenta unas características las cuales son:

• Dirección: esta se extiende infinitamente en ambas direcciones.
• Puntos: cada punto en la recta numérica corresponde a un número especifico
• Intervalos: son los espacios entre los números son iguales, esta ayuda a mostrar su relación y comparación.

Otra cosa que se puede encontrar en la recta numérica son los tipos de números, los cuales se clasifican:

• Números naturales: Son aquellos números enteros positivos que comienzan desde 1 en adelante (1, 2, 3, …).
• Números enteros: Incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).
• Números racionales: Son números que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, donde el divisor no es cero (por ejemplo, 1/2, -3/4).
• Números irracionales: Son aquellos que no pueden escribirse como una fracción, como √2 o π.
• Números reales: Incluyen tanto los números racionales como los irracionales y forman la base de la recta numérica.

Puntos para considerar para un buen manejo de la recta numérica:

• Positivos y negativos: Comprender la ubicación de los números positivos y negativos en la recta es esencial.
• Enteros y fraccionarios: La distinción entre enteros y fracciones se vuelve más evidente con la recta numérica.
• Intervalos: La comprensión de los intervalos en la recta ayuda en la comparación de números.

1.2 Los números reales.

Definición:

Los números reales pertenece en la matemática a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales, es decir que agrupa a todos los números que presentan o no una parte decimal.

Números racionales: Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o mas precisamente, un entero y un natural positivo.

Números enteros: Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero.

Números fraccionarios: cifras con decimales.

Números irracionales: los números irracionales son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas.

1.  Propiedades de los números reales.

• Propiedad conmutativa de la suma: establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecte a su sumatoria.

           Ejemplo: 3 + 7 = 7 +3 = 10

• Propiedades conmutativas de la multiplicación: cuando dos números reales se multiplican en diferentes ordenes, el resultado es siempre el mismo

           Ejemplo: 4 x 3 = 3 x 4 =12

• Propiedad asociativa de la suma: esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo:

           Ejemplo: ( 2 x 3 ) + 4 = 2 ( 3 x 4 ) = 9

• Propiedad asociativa de la multiplicación: el producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: en la primera preservando el orden y multiplicando el número del producto, desde el primer y segundo número al tercer número, la segunda forma es preservando el mismo orden y multiplicando el primer numero con el producto del segundo y tercer número. El resultado de ambos casos será el mismo.

           Ejemplo: ( 2 x 3 ) x 4 = 2 x ( 3 x 4 ) = 24

• Propiedad de identidad de la suma: “0” es el numero neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número.

           Ejemplo: 9 + 0 = 9

• Propiedad de identidad de la multiplicación: el producto de cualquier número real con el elemento de identidad “1” es el número real mismo.

           Ejemplo: 6 x 1 = 6

Continuamos con otras propiedades de los números reales.

1. Cerradura

Los números reales son cerrados bajo las operaciones de suma y multiplicación, lo que significa que:

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