Cálculo integral

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Identidad trigonométrica

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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unidad centrado en O.

Identidades trigonométricas fundamentales, y como convertir de una función trigonométrica a otra.

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Notación: se define cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².

Contenido

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• 1 Relaciones básicas

• 2 De las definiciones de las funciones trigonométricas

• 3 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

• 4 Identidades del ángulo múltiple

o 4.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio

o 4.2 Producto infinito de Euler

• 5 Identidades para la reducción de exponentes

• 6 Identidades del medio ángulo

• 7 Paso de Producto a Suma

o 7.1 ¿De donde se origina ?

• 8 Paso de Suma a Producto

• 9 Eliminar seno y coseno

• 10 Funciones trigonométricas inversas

o 10.1 Composición de funciones trigonométricas

• 11 Fórmula de productos infinitos

• 12 Fórmula de Euler

• 13 Teorema del coseno

• 14 Teorema del seno

• 15 Definiciones exponenciales

• 16 Véase también

• 17 Enlaces externos

Relaciones básicas [editar]

Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ or −). Por ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

Función sin cos tan csc sec cot

sin

cos

tan

csc

sec

cot

De las definiciones de las funciones trigonométricas [editar]

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos [editar]

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

...