DEFORMACIONES Y ESFUERZOS POR TORSIÓN EN EJES CIRCULARES

1. TORSIÓN

En este capítulo estudiaremos los esfuerzos y deformaciones que se generan al aplicar un torque a un miembro estructural recto y largo, por ejemplo un eje macizo o uno tubular.

En operaciones como ajuste de pernos y tuercas, transmisiones de potencia de motores, etc; se aplica pares torsores a los elementos de máquina involucrados.

DEFORMACIONES  Y ESFUERZOS POR TORSIÓN EN EJES CIRCULARES

Un par de torsión o torque es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal, originando esfuerzos y deformaciones de corte cuyas magnitudes son de interés primordial en el diseño de ejes o flechas que transmiten potencia.

HIPÓTESIS:

• Las barras son de material homogéneo que se rigen por la ley de Hooke.
• Las secciones transversales en los extremos del eje permanecen planas; es decir no se alabean hacia adentro ni hacia fuera y las líneas radiales en estos extremos permanecen rectas durante la deformación.
• Las deformaciones angulares son pequeñas.
• No existe deformación unitaria normal ni transversal

[pic 1]                                        Figura 4.1 

Para ilustrar el efecto de aplicar un par de torsión a un eje circular de material altamente deformable como el hule o jebe; consideremos la figura 4.1, que muestra una barra marcada por líneas circulares y longitudinales formando pequeñas rejillas.

Por inspección visual se observa que la torsión hace que los círculos permanezcan como círculos y que cada línea longitudinal se deforme convirtiéndose en una hélice que interseca a los círculos según ángulos iguales.

Para ángulos de rotación pequeños, el diámetro y la longitud del eje permanecen constantes.

En la figura 4.2 la barra circular soporta un par de torsión T en sus extremos, el plano que contiene a los puntos p, q y al eje de la barra se distorsiona hasta quedar en pq’ y mantener invariable mismo eje axial.

El ángulo Ø(X) es el giro de una línea radial de la sección transversal ubicada en una posición x con respecto al extremo fijo. Este ángulo Ø(X) se llama ángulo de torsión. Depende de la posición x  y varía a lo largo del eje, como se muestra.

[pic 2]

Fig. 4.2  El ángulo de torsión φ(x) se incrementa conforme x aumenta

A fin de establecer relaciones geométricas, aislaremos ahora un elemento pequeño de barra de longitud dx, figura 4-3. Debido a la deformación, figura 4-2, las caras frontal y posterior del elemento sufrirán una rotación. La que está en x gira Ø(X)  y la que está en (x + dx) gira Ø(X) + dØ. La diferencia de estas rotaciones, dØ, ocasiona que el elemento quede sometido a una deformación unitaria cortante.

[pic 3]

Fig. 4.3  Deformación cortante del elemento

Si analizamos un cilindro situado a una distancia radial ρ  del eje de la flecha, para el ángulo  γ, indicado sobre el elemento, tenemos:

                        [pic 4]        (4.1 a)

Y para el γmax :        [pic 5]                (4.1 b)

Puesto que dx y dφ son iguales para todos los elementos situados en puntos dentro de la sección transversal en x, entonces dØ/dx  es constante y la ecuación 4-1 establece que, la deformación unitaria cortante dentro de la flecha varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial, desde cero en el eje de la flecha hasta un máximo en su periferia. Si el radio exterior de la flecha es r, la deformación unitaria cortante para elementos típicos situados dentro de la flecha a una distancia radial ρ, y en su superficie ρ = r, es como se muestra en figura 4-4.

Podemos escribir:

 [pic 6]        (4.2)

Fig. 4.4 La deformación unitaria cortante  del material crece linealmente con ρ,

1. LA FORMULA DE TORSION

Si una flecha está sometida a un par de torsión externo, entonces, por equilibrio, debe también desarrollarse un par de torsión interno en la flecha. En ésta sección se desarrollará una ecuación que relacione la distribución del esfuerzo cortante con el par de torsión interno resultante en la sección de una flecha o de un tubo circular.

Si el material es elástico- lineal, entonces es aplicable la ley de Hooke,         [pic 7] y, en consecuencia, una variación lineal de la deformación unitaria cortante, conduce a una variación lineal en el esfuerzo cortante correspondiente a cualquier lineal radial en la sección transversal. Por tanto, al igual que la variación de la deformación unitaria cortante en una flecha sólida, [pic 8] variará desde cero en el eje longitudinal de la flecha hasta un valor máximo, [pic 9], en su periferia. Esta variación se muestra en la figura 4-5 sobre las caras frontales de un número selecto de elementos, situados en una posición radial intermedia        [pic 10] y en el radio [pic 11] exterior. Debido a la proporcionalidad de los triángulos o bien usando la ley de Hooke:  [pic 12] y la ecuación 4-2         [pic 13], podemos escribir que:                        [pic 14]

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