Definiciones De probabilidad

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

Antes de profundizar en la forma como se utilizan las probabilidades, es necesario conocer de cierta manera de donde provienen. Hay tres formas de calcular o estimar la probabilidad. El enfoque clásico o "a priori" proveniente de los juegos de azar o definición clásica de Laplace que se emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables; la definición empírica, "a posteriori" o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos repetidos y por último la definición de Kolmogorov o definici6n axiomática de probabilidad.

Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE LAPLACE O "A PRIORI"

Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.

2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.

Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

Ejemplo 24: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3,  , 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as es porque el evento de "extraer un as" consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es y la probabilidad de que sea un diamante es .

Ejemplo 25: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Solución: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, y hay tres pares, luego,

Ejemplo 26: ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?

Solución: Usando "a" para niña y "o" para niño, el espacio muestra es:

S = {aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} n(S) = 8

El evento A en que hayan dos niñas y un niño es

A = {aao, aoa, oaa, } n(A) = 3

Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(S).

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DEFINICIÓN EMPÍRICA "A POSTERIORI" 0 FRECUENCIAL

La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Por desgracia, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición de Laplace no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.

Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia relativa del evento es ,o sea,

Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada cierto número de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad de las frecuencias relativas. Esto se ilustra en la siguiente tabla, de una moneda lanzada al aire 1000 veces.

# de lanzamientos # de

caras Frecuencia relativa Frecuencia acumulada Frecuencia acumulada relativa

1 - 100 52 0.52 52 0.520

100 - 200 53 0.53 105 0.525

200 - 300 52 0.52 157 0.523

300 - 400 47 0.47 204 0.510

400 - 500 51 0.51 255 0.510

500 - 600 53 0.53 308 0.513

600 - 700 48 0.48 356 0.509

700 - 800 46 0.46 402 0.503

800 - 900 52 0.52 454 0.504

900 -1000 54 0.54 508 0.508

Total: 1000 508 0.508

En un total de 1000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir la frecuencia relativa es aproximadamente 0.50.

Tres investigadores realizaron experimentos y obtuvieron los siguientes resultados

Investigador Número de lanzamientos Número de caras Frecuencia relativa

Buffon 4040 2048 0.5069

K. Pearson 12000 6019 0.5016

K. Pearson 24000 12012 0.5005

La mayoría de experimentos aleatorios de importancia práctica tienen estabilidad, por esto podemos sospechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento E en un gran número de ensayos es aproximadamente igual a un determinado número P(E), o sea, la probabilidad del evento E es

Obsérvese que este número es una propiedad que no depende solamente de E, sino que se refiere a un cierto espacio muestra S y a un experimento aleatorio. Entonces, decir que el evento E tiene probabilidad P(E) significa que si efectuamos el experimento muchas veces, es prácticamente cierto que la frecuencia relativa de E, fr(E) es aproximadamente igual a P(E).

Cuando se usa la definición frecuencial, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:

i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.

ii. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.

iii. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente.

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DEFINICIÓN AXIÓMATICA DE KOLMOGOROV

Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o propiedades de la probabilidad en forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones llamados axiomas de la probabilidad.

La probabilidad de un evento A se define como el número P(A), tal que cumple con los siguientes axiomas:

AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor que uno: 0 < P(A) < 1

AXIOMA 2: P(S) = 1

AXIOMA 3: Si A y

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