Demostración de la continuidad en la parábola

1. Demostración de la continuidad en la parábola

En una función parabólica, al escoger 3 puntos al azar que pertenezcan a su trayectoria, se puede intuir de primera mano que no van a representar una relación de colinealidad entre ellos, pues no representan una línea recta. Para una rampa de tipo parabólico, dónde se busca un movimiento fluido de cualquier móvil que trace un desplazamiento sobre ella, la demostración de que esta posibilidad soluciona un cambio abrupto de trayectoria (fatal para un contexto de carga minera), se torna completamente esencial. En matemáticas existe una definición dada para la continuidad en una función, esta explica lo siguiente:

La definición matemática de continuidad coincide con el sentido pragmático de la palabra en la acción cotidiana. “Un proceso continuo es aquel que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción o cambio brusco”. (Stewart, 2013, p. 118, sección 2.5, Cálculo de una variable, 7ma edición).

Según el anterior concepto de continuidad, y teniendo en cuenta la relación con la solución que se busca ante el problema. El hecho de demostrar que una función es continua solucionaría el problema de la trayectoria encontrado en una rampa lineal.

Se diseñó un prototipo de una rampa parabólica, dónde se escogieron 3 puntos correspondientes, el primero corresponde a la altura, el segundo se eligió arbitrariamente sobre la trayectoria, y el tercero corresponde a la extensión horizontal de la parábola. Las coordenadas se expresan de la siguiente manera:

1. (0 , 1.0)

2. (0.30 , 0.39)

3. (0.80 , 0)

Además, se considera un cuarto punto correspondiente al largo horizontal de la rampa en su totalidad, el cuál se expresa como:

4. (1.20 , 0)

Lo anterior se esquematizó de la siguiente manera, dónde 1 es la coordenada de la altura, 2 es un punto aleatorio en la trayectoria, 3 es la coordenada del largo horizontal de la parábola, y 4 es la extensión en conjunto del tramo parabólico y rectilíneo horizontalmente. Tal como se muestra la siguiente gráfica.

Gráfica 1.1 (Dimensiones de la rampa y puntos escogidos)

Con el fin de demostrar lo anterior, y proponer una trayectoria adecuada para el movimiento buscado, se planteó lo siguiente:

En comparación a una rampa recta, cuya trayectoria puede ser representada por una ecuación de la forma , dónde m es la pendiente, y b el intercepto con el eje y. Una rampa de tipo parabólica se rige por un modelo matemático representado por una ecuación cuadrática en la siguiente estructura:

“Dónde a, b y c son constantes dependientes de las características dimensionales”

Es así, que siguiendo el principio de la continuidad y tangencialidad de las rectas a lo largo de la gráfica de una función. Se puede comparar a la pendiente de las infinitas rectas tangentes que existen sobre cada coordenada de una parábola, con la única pendiente posible en una función lineal.

Siguiendo este orden de ideas, la pendiente en una parábola va disminuyendo conforme los puntos se acercan al vértice de esta, dónde aquella corresponde a un valor de cero. De esta manera, si se demuestra que, en la trayectoria elegida el cambio de la pendiente es gradual y no abrupto, se solucionaría el problema del movimiento. Por otro lado, aquello también logra evidenciar que los 3 puntos elegidos no son colineales, pues

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