Derivadas Totales

Introducción:

Podremos ver como las matemáticas se relacionan en el ámbito laboral de un ingeniero y por qué un ingeniero su rama más fuerte son las matemáticas ya que sin ellas los ingenieros no existirían.

Las matemáticas son exactas y el trabajo así debe ser no debe de haber errores.

A continuaciones veremos cómo las derivadas las empleamos para algo sencillo pero muy importante.

Las derivadas son una razón de cambio pero no solo veremos cómo se determina una magnitud o cantidad con respecto a otra, si no que tan rápido es su variación.

Las derivadas las podemos aplicar hasta en la vida cotidiana por ejemplo:

Pensemos en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura.

Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.

Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.

La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego en lenteciéndose, ocurrir exactamente lo contrario, etc.

Problema: Demanda

Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p U$S /unidad.

Se ha determinado que la relación entre p y q es:

q2-2qp-p2-31=0

Si el precio p del artículo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0.20 U$S por semana, te pedimos:

a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.

b) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q, vendidas por semana cuando el precio es de 9 U$S?

Desarrollo:

a)

Como la relación entre q y p es:

q2-2qp-p2-31=0

Si p=9U$S q2-6q-112=0

Resolvemos la ecuación obtenemos y tenemos que q=14 unidades.

(La otra raíz q=.8 no tiene significado practico)

b)

Como el precio p varia en el tiempo, q será consecuentemente función del tiempo.

Se te pide calcular la rapidez de variación de la demanda, o sea dqdt expresada

En miles de unidadessemana cuando el precio es de 9U$S

La tasa de variación del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S

En consecuenciadpdt=0.20 U$Ssemana.

Derivemos la relación respecto al tiempo

2qdqdt-2dqdtp+q12pdpdt-2pdpdt=0

2q-2pdqdt=qp-2pdpdt

Sustituyendo valores: 214-29dqdt=149-4(9)0.20

Finalmente obtienes: dqdt≅0.206 miles unidadessemana

Habrá entonces un incremento de 206 unidades demandadas.

Conclusión:

Las derivadas aunque

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