Derivadas

Derivadas de funciones trascendentes

Derivadas de Funciones Exponenciales.

Regla de la potencia.

Si n es un numero entero positivo

d/dx (x^n )=nx^(n-1)

Demostracion:

x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+x^(n-2) a…+xa^(n-2)+a^(n-1)

b. Derivada de Funcion exponencial Natural.

d/dx (e^x )=e^x

Ejemplo:

Si f(x)= e^x-x Encuentre F´ y F´´

F´(x)= d/dx (e^x-x)=d/dx (e^x )-d/dx (x)=e^x-1

F´´(x)= d/dx (e^x-x)=d/dx (e^x )-d/dx (1)=e^x

C. Regla del producto

Si tanto F como G son derivables en tal caso:

d/dx (f(x)g(x)=F(x)d/dx (g(x))+g(x)d/dx (F(x))

Derivadas de Funciones Trigonometricas

- Derivando función seno

d/dx (senx)=cosx

Derivando Funcion coseno

d/dx (cosx)=-senx

Derivando Funcion tangente

d/dx (tanx)=〖sec〗^2 x

Derivando función Cosecante

d/dx (cscx)=-cscx.cotx

Derivando función secante

d/dx (secx)=sec.tanx

-Derivando función cotangente

〖d/dx (cotx)=-csc〗^2 x

Regla de la cadena

Si g es derivable en X y F en g(x),por lo tanto la función compuesta H=F°g se define mediante H(x)=F(g(x)),derivable en X y H´ esta dada por el producto:

H´(x)=F´(g(x)).g´(x)

En la notación de Leibniz, si tanto y=(u) como u=g(x) son funciones diferenciables por lo tanto:

dy/dx=dy/du*du/dx

Regla de la potencia combinada con la regla de la cadena:

Si n es cualquier numero real y u=g(x) es derivable , entonces:

d/dx (u^n )=nu^(n-1) du/dx

De modo alternativo , d/dx 〖[g(x)]〗^n=n〖[g(x)]〗^(n-1)*g´(x)

Derivadas de Funciones Trigonometricas Inversas

*d/dx (〖sen〗^(-1) x)=1/√(1-x^2 )

*d/dx (〖cos〗^(-1) x)=-1/√(1-x^2 )

* d/dx (〖tan〗^(-1) x)=1/(1+x^2 )

*d/dx (〖csc〗^(-1) x)=1/(x√(x^2-1))

*d/dx (〖sec〗^(-1) x)=1/(x√(x^2-1))

*d/dx (〖cot〗^(-1) x)=-1/(1+x^2 )

Derivando Funcion Logaritmica

Para derivar logarítmicamente se debe tomar en cuenta:

Tomar logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y =F(x) y utilizar las ecuaciones de logaritmos para simplificar.

Derivar implícitamente con respecto a x

Resuelva la ecuación resultante para y´

Si usamos la regla de la potencia para derivar logarítmicamente:

Sea y=x^n y aplique la derivación logarítmica

Ln|y|=ln|〖x|〗^n=n ln |x| x es diferente de 0

Por lo tanto , (y´)/y=n/x

De donde , y´=ny/x=n

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