Derivadas

C A P Í T U L O 3

D E R I V A D A S

Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése es el propósito básico de los “métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta, una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos. La función

Exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los sistemas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.

Sin ninguna estructura particular y números complejos cuando se considera la estructura de cuerpo antes definida. Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso. La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemática. Por ello, a un elemento de R2 se le llama número complejo cuando se va a usar el producto antes definido que es lo que en realidad distingue a los números complejos de los vectores de R2.

La función exponencial

Definimos la exponencial compleja de un número z=x+iy como:

Observa que

En particular observamos la llamada formula de Euler:

Que establece una relación entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas la formula de Eular se deducen fácilmente las llamadas ecuaciones de Euler:

3.1 Trigonometría

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades pre-helénica carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B.

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B.

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

Relaciones entre las razones trigonométricas

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

3.2 Regla de cadena

La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en, entonces la función compuesta

Notación de Leibniz

En la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

Donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de cadena

Aplicando la definición de derivada se tiene

Ejemplos

1.-

2.-

3.-

3.4 TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

EJEMPLOS

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. En caso afirmativo determinar los valores de c.

F(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función poli nómica.

Además se cumple que:

F (−1) = f (0) = f (1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3. ¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función poli nómica.

No cumple teorema de Rolle porque f (−1) ≠ f (1).

4. Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.

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