Derivada.

Introducción.

El proceso de hallar una derivada se llama diferenciación o derivación. Es fácil ponernos a pensar que esto es una operación que transforma una función en otra la cual la función está definida para los valores representados por (x) para los que existe el límite. Si se usa (y) para designar el valor de y = (x), la derivada se designa o representa por (y). No son estas las únicas notaciones para la derivada, sino que a menudo en matemáticas y sus aplicaciones se usan algunas otras. Una de ellas es la notación diferencial entre otras, las cuales abordaremos en el siguiente ensayo.

DESARROLLO

Para medir la pendiente de una curva en diferentes puntos, se necesitan líneas tangentes separadas. En geometría una línea tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto.

Una fórmula algebraica para la pendiente de una tangente se puede derivar de la pendiente de una línea secante. Una tangente (S) es una línea que intersecta a la curva de una función en dos puntos.

S = y2 - y1

Línea tangente (s)

Ahora, la velocidad instantánea nos quiere decir, si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición entonces su velocidad instantánea en el instante puede ser (c), que es:

V= lim v= lim f(c+h)-f(c)/h

Siempre que el limite exista y no sea de infinito a menos infinito.

La derivada de una función en el punto A es igual a:

- La pendiente de la gráfica de la función en A.

- La pendiente de la tangente a la gráfica en A.

(Obsérvese en las imágenes: 2.10 y 2.11)

Ahora ya podemos ver por qué llamamos a la pendiente de la recta tangente y a la velocidad instantánea como parecidos.

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

El proceso de encontrar la derivada y sus reglas de una función de manera directa puede ser a partir de una definición de la derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferencias y evaluando su límite:

Geométricamente se interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente en un punto dado. Así se observa en la gráfica siguiente que para la función, en el punto a=-1, tenemos una recta que interseca a la función en Un único punto, esta recta (y = m x + b) se llama la recta tangente a la función en ese punto y la definición anterior nos proporciona el valor de la pendiente de esta recta, es decir “m”.

El desarrollo de métodos sistemáticos (“reglas”) para derivar aquellas funciones que se presentan con más frecuencia. Estás incluyen a los polinomios, las funciones racionales, trigonométricas de sen x y cos x y las combinaciones de estas funciones. Una vez establecidas estas reglas de derivación general, podemos aplicarlas formalmente, casi de manera mecánica, para calcular derivadas. Raras veces tendremos que recurrir de nuevo a la definición de la derivada.

Un ejemplo de “regla de derivación” es el teorema acerca de la derivación de las funciones cuadráticas:

Si f(x)= ax2+bx+c, entonces f(x)= 2ax+b

Una función potencial con exponente real se representa por y su derivada es .

Por ejemplo tomemos la función:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

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