Derivadas

Introducción histórica de la Derivada.

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia en el siglo III a.c, pero no se encontraron métodos de resolución hasta veinte siglos después en el siglo XVII.

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, entonces empezaron a andar un camino que les llevaría medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de tangentes, áreas y volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Con respecto a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico y uno de tipo mecánico que dieron origen a lo que hoy conocemos como cálculo diferencial.

Problemas

Geométricos Mecánico

Pendiente de una Máximos y Velocidad

de una recta mínimos instantánea

Calculo Diferencial

Historia

En la Grecia clásica, comenzaron a plantearse los tres problemas que darían comienzo al estudio de las derivadas, estos son: los trazados de tangentes a una curva dada, la velocidad de un móvil y la determinación de máximos y mínimos de funciones, los cuales se resolvían geométricamente.

Arquímedes de Siracusa en el siglo III a.C. elaboró un método de construcción de la recta tangente para la espiral que lleva su nombre, las pautas marcadas por Arquímedes en la resolución de estos problemas son las que prevalecen hasta el siglo XVII.

Es entonces cuando Pierre Fermat (1601-1665) trató de determinar los máximos y los mínimos de ciertas funciones, observó que una curva tiene en cada uno de sus puntos una dirección, definida por la recta tangente a la curva en dichos puntos, tal que donde la función tiene un máximo o un mínimo la tangente es horizontal.

En la segunda mitad del siglo XVII surgen en Europa dos grandes matemáticos, estos son Newton y Leibnitz, considerados los inventores de lo que hoy conocemos como cálculo Diferencial y también del cálculo Integral los cuales fundieran en uno solo.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes, en 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable fluye o varía con el tiempo.

Leibnitz, por su parte, también formuló y desarrolló el cálculo diferencial pero en el 1675 y fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Leibnitz fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos, pues a él se deben los nombres de: Calculo Diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos de derivada y de integral.

En el siglo XVIII, los aportes más importantes en este campo fueron, en Inglaterra, los de McLaurin y Taylor, y en Francia, los de Lagrange.

En la Edad Contemporánea, el matemático francés Cauchy toma como punto de partida la noción de límite para deducir de ella la de función continua y posteriormente la de derivada.

¿Para qué sirven las Derivadas?

Como sabemos la educación que se entrega a los alumnos no está basada en comprender los fundamentos de los conceptos, sino en una reproducción constante de ellos, lo cual se ha convertido en una de las deficiencias principales del proceso de aprendizaje, ya que no logra mantener la atención del alumno ni el real aporte de los conceptos enseñados.

Especialmente en el concepto de derivadas nos encontramos con muchos estudiantes (de todos niveles) los cuales no han logrado comprender el concepto, ya que para comenzar no saben para que nos sirvan las derivadas.

Entonces las derivadas nos permiten conocer más sobre:

 Calculo de los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo.

 En física, electricidad, electrónica, química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos y las acumulaciones.

 Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de los ascensores para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

 Cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión.

 El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad.

 Evolución o cambio de muchos fenómenos físicos.

Concepto de derivada

El concepto de derivada tiene variadas aplicaciones, una de ellas es en donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación, otra situación es cuando se refiere a la grafica de dos dimensiones de una función y se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente de un gráfico en un punto x, se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el limite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente.

Esta interpretación es explicada detalladamente a continuación.

Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en la misma cueva, consideremos la recta que pasa por P y Q, llamada recta secante.

...