Derivadas
Enviado por Kevin41401 • 2 de Julio de 2013 • 489 Palabras (2 Páginas) • 367 Visitas
EJERCICIO N°01
La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función
,
hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.
SOLUCIÓN
Sea g(x; y) = 2x4 + 3y4. Tenemos:
Con estos valores tenemos f(x; y) 0,44.
Los otros dos casos son:
EJERCICIO N°2
Hallar el punto del paraboloide z = (x - 2)2 + 0.25 (y - 3)2 + 5 más próximo al plano x + y + z = 0.
SOLUCIÓN
Llamaremos (x; y; z) al punto que está sobre el paraboloide y (s; t; u) al perteneciente al plano. La función a minimizar es la función distancia entre ambos, pero esto es equivalente a minimizar la distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es una función creciente. La distancia al cuadrado entre ambos puntos es:
f(x; y; z; s; t; u) = (x - s)2 + (y - t)2 + (z - u)2
Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis incógnitas.
Las condiciones de restricción serán la pertenencia al paraboloide y al plano respectivamente. Recordemos que una condición de restricción siempre se escribe como una función igualada a una constante. Podemos escribir, entonces:
g1(x; y; z; s; t; u) = z - (x - 2)2 - 0.25(y - 3)2 = 5
g2(x; y; z; s; t; u) = s + t + u = 0.
Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a nuestro caso tendremos:
f = 1g1 + 2g2
Derivando variable por variable tendremos:
EJEMPLO Nº3
• Usar multiplicadores de LaGrange para hacer máximo el valor de
sujeto a
FO:
FR:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
FR:
EJEMPLO Nº04
Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volumen sometido a la restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda 108 pulgadas.
FO:
FR:
Resolver ecuación:
FR:
EJERCICIO Nº 05
Una caja rectangular sin tapa se hace con de cartón. Calcule el volumen máximo de
...