Desigualdades con Valor Absoluto

Desigualdades con Valor Absoluto

En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por , mediante

También observamos en dicho capítulo que representa la distancia del origen al punto , y de forma mas general que representa la distancia entre y .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.

Propiedades del valor absoluto. Si y son números reales arbitrarios entonces

1.

2.

3. ,

4. (Desigualdad triangular)

5. y

La interpretación geométrica de nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades

Sea . Entonces

6. es equivalente a

7. es equivalente a o

Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente

8. es equivalente a

En las propiedades (6) a (8) el símbolo puede remplazarse por .

Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .

Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad .

La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es

Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de + - -

Signo de - - +

Signo de - + -

Vemos que la solución de la desigualdad es

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