REPORTE DE INVESTIGACION: VALOR ABSOLUTO, AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES Y PROPIEDADES DE DESIGUALDADES.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CUDAD CONSTITUCION.

REPORTE DE INVESTIGACION: VALOR ABSOLUTO, AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES Y PROPIEDADES DE DESIGUALDADES.

POR ROMINA MURILLO.

INTRODUCCION.

EN ESTE REPORTE DE INVESTIGACION ABORDAREMOS UNOS CUANTOS TEMAS VISTOS EN CLASE COMO LOS AXIOMAS EN LOS NUMEROS REALES: TRICOTOMIA, TRANSITIVIDA, DENSIDAD DE UN NUMERO Y AXIOMA SUPREMO; EL VALOR ABSOLUTO Y  ASI COMO TAMBIEN LAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES.

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES.

SON AFIRMACIONES QUE SE ACEPTAN COMO VERDADERAS Y QUE SU VERACIDAD NO PUEDE SER  DEMOSTRADA A PARTIR DE OTROS AXIOMAS,

• TRICOTOMIA: CADA NUMERO REAL ES POSITIVO,NEGATIVO O CERO. ES LA PROPIEDAD DE UNA TEOIA DEL ORDEN. SE CUMPLEN UNA Y SOLAMENTE UNA DE LAS SIGUIENTES RELCIONES: a
• TRANSITIVIDAD: INDICA QUE DOS NUMEROS REALES (a Y b) UNO DEL SIGUIENTE ES EXACTAMENTE VERDAD: : a
• DENSIDAD DE UN NUMERO: DADOS DO NUMEROS RACIONALES DISTINTIS, a<β, SIEMPRE EXISTE OTRO NUMERO RACIONAL ϒ Y TAL QUE a<ϒ<β.
• AXIOMA DEL SUPREMO: TODO CONJUNTO NO VACIO Y ACOTADO SUPERIORMENTE POSEE UN SUPREMO.

*CONJUNTO NO VACIO: SE REFIERE A UN CONJUNTO QUE TIENE POR LO MENOS UN ELEMENTO.

*CONJUNTO SUPERIOR: SE REFIERE A UN VALOR QUE ES MAYOR O IGUAL A CUALQUIER OTRO VALOR.

*SUPREMO: ES LA MINIMA COTA SUPERIOR DE UN CONJUNTO.

VALOR ABSOLUTO

EL VALOR ABSOLUTO O MODULO DE UN NUMERO REAL ES SU VALOR NUMERICO SIN TENER EN CUENTA SU SIGO, SEA POSITIVO O NEGATIVO, AQUÍ MUESTRO SU NOTACION: CUALQUIER NUMERO a TIENE SU REPRESENTACION EN LA RECTA REAL. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REPRESENTA LA DISTANCIA DESDE ESE NUMERO HASTA SU ORIGEN.

[pic 1]

EN EL DIBUJO SE OBSERVA QUE LA DISTANCIA  DEL SEIS AL ORIGEN DEL SEIS ES DE SEIS UNIDADES,IGUALMENTE LA DISTANCIA DEL PUNTO -6 AL ORIGEN ES 6. ESTO ES |−6| = 6 .

AHORA MENCIONAREMOS ALGUNAS DE SUS PROPIEDADES:

• MULTIPLICATIVA: EL VALOR ABSOLUTO DE UN PRODUCTO ES IGUAL A EL PRODUCTO DE LOS VALORES ABSOLUTOS.
• PRESERVACION DE LA DIVISION: EL VALOR ABSOLUTO DE UN COCIENTE ESIGUAL A EL COCIENTE DE LOS VALORES ABSOLUTOS SOLO SI EL DENOMINADOR ES CERO.
• PROPIEDADES DE LA SIMETRIA: EL VALOR ABSOLUTO DEL OPUESTO DE UN NUMERO ES IGUAL A EL VALOR ABSOLUTO DEL NUMERO.
• DEFINICION POSITIVA: EL UNICO NUMERO QUE SU VALOR ES CERO ES EL MISMO CERO.
• NO NEGATIVIDAD: EL VALOR ABSOLUTO DE CUALQUIER NUMERO NUNCA VA A DAR NEGATIVO.
• IDENTIDAD DE INDESCERNIBLES: CUANDO EL VALOR ABSOLUTO DE UNA ADICION DE DOS NUMEROS ES MENOR O IGUAL A LA SUMA DE LOS VALORES ABSOLUTOS.
• ADITIVA: EL VALOR ABSOLUTO DE UNA SUMA DE DOS NUMEROS ES MAYOR O IGUAL A EL VALOR ABSOLUTO DE LA RESTA DE LOS VALORES ABSOLUTOS.
• EQUIVALENTE A LA PROPIEDAD ADITIVA: EL VALOR ABSOLUTO DE UNA RESTA DE DOS NUMEROS ES MAYOR O IGUAL A EL VALOR ABSOLUTO DE LA RESTA DE LOS VALORES ABSOLUTOS,
• DESIGUALDAD TRIANGULAR: EL VALOR ABSOLUTO DE UNA  RESTA DE DOS NUMEROS ES MENOR O IGUAL A EL VALOR ABSOLUTO DE LA RESTA DEL PRIMER NUMERO MENOS EL TECERO MAS EL VALOR ABSOLUTO DE LA RESTA  DE EL TERCERO MENOS EL SEGUNDO.

PROPIEDADES DE DESIGUALDADES.

LAS DESIGUALDADES SON LAS RELACIONES ENTRE DOS NUMEROS O EXPRESIONES, TAL QUE x ES MENOS QUE y SI;(x-y) ES NEGATIVO. x ES MAYOR QUE y SI , (x-y) ES POSITIVO, EN ESTAS RELACIONES SE UTILIZAN LOS SIGUIENTES SIMBOLOS: 

[pic 2]

• TRANSITIVIDAD

PARA NUMEROS REALES ARBITRARIOS  a,b y c:

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