AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

Un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

• Axioma 1: Para cualesquiera dos números reales a y b, la suma es también un número real. A esta propiedad se le conoce como cerradura de la adición.
                 Si a, b ϵ de los reales, entonces a + b, ab ϵ es un número real

• Axioma 2: Para cualesquiera tres números reales a, b y c, el resultado de sumar a al número (b + c) es igual al resultado de sumar (a + b) al número c.

A esta propiedad se le conoce como asociatividad 
                Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)

• Axioma 3: El orden en que se sumen dos números reales cualesquiera, no altera su resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutatividad 
                     Si a, b ϵ de R entonces a+b = b+a y ab = ba

• Axioma 4: En los números reales existe el 0, el cual representa un elemento neutro para la suma. Es decir, a + 0 = a para cualquier número real a. A esta propiedad se le conoce como existencia de un neutro para la adición y el cero es conocido como neutro aditivo.

                Si a ϵR, entonces a+0 = a y a·1 = a (0 se llamará Neutro aditivo
                                       y 1 se llamará Neutro multiplicativo)

• Axioma 5: Para cualquier número real a, existe otro número real denotado por −a tal que a + (−a) = 0. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso aditivo
              Si a ϵ de R , existe -a ϵ de R tal que a + (-a) = 0 y si a ϵ de R con a
                                 diferente 0, entonces existe que a · a-1 = 1
• Axioma 6: Para cualesquiera tres números reales a, b y c se tiene que el producto de a con la suma (b + c) es igual al producto de a · b más el producto a · c.  A esta propiedad se le conoce como distributividad del producto sobre la adición
                                Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac

[pic 1]

AXIOMAS DE ORDEN

Los axiomas de orden de los números reales, establecen una forma de comparar cada par de números reales para así poder ordenarlos.

• Axioma de orden 1: Para cualesquiera dos números reales a y b, se cumple una y sólouna de las siguientes afirmaciones:

                                 1. a = b             2. a < b                 3. b < a

A esta propiedad se le conoce como Tricotomía.

• Axioma de orden 2: Si a < b y además b < c, entonces a < c. A esta propiedad se le conoce como transitividad de la desigualdad.

• Axioma de orden 3: Si a < b entonces para cualquier c número real, tenemos que          a+c < b + c. A esta propiedad se le conoce como la adición preserva el orden de la desigualdad.

• Axioma de orden 4: Si a < b y 0 < c entonces a · c < b · c. A esta propiedad se le conoce como el producto por un número real positivo preserva el orden de la desigualdad.[pic 2]

Bibliografía: http://www.matem.unam.mx/quico/axiomascampo.pdf

TEOREMAS

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano.

Teorema 1. Para cualesquiera a, b, c ∈ R, si a + c = b + c, entonces

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