Peopiedades De Los Numeros Reales (tricotomia Transitividad Y Axioma Del Supremo)

Propiedades de los números reales

A)Propiedad de tricotomía

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de

xRy, x=y, yRx

asimientos.

Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.

Propiedads de relaciones tricótomas

Propiedad Ecuación Descripción

Propiedad simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

B)Propiedad de Transitividad

La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.

En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.

De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c entonces a = c.

La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.

C) Propiedad de densidad

Ésta propiedad dice que para todo número a y b pertenecientes a R, existe otro número c, tal que:

a<c<b

Es decir, que dados dos números siempre podemos encontrar otro que esté entre los 2 o, equivalentemente, que podemos tener siempre un número tan cercano como queramos a otro dado.

Para cualquier x, y .R si x < y, existe q .

Q, tal que x < q < y.

Demostración:

Si x < 0 < y . q = 0, y se cumple x < q < y.

En otro caso x e y serán de la forma:

x = n , a0 a1 a2 . . . a . . .

n

y = m , b0 b1 b2 . . . b . . .

nm.n

Si m ¹n . q= , y se cumple x < q < y.

2

En otro caso(m=n) existirá un p .N, tal que:

n , a0 a1 a2 . . . a p = m , b0 b1 b2 . . . bp

Tomando:

q = ½ ( n,a0a1a2 ... apap+1 + m,b0b1b2 ... bpbp+1

,también se cumple x < q < y.

D) El axioma del supremo

De los axiomas de los reales, éste es el

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