Axiomas De Los Numeros Reales

Axiomas de los números reales

Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades

Propiedad Suma Multiplicación Ejemplos

Cerradura a + b ∀a, b ∈ R a b ∀a, b ∈ R 3+5=8 ∈ R

(2)(-3)=-6 ∈ R

Conmutativa a + b = b + a ∀a, b ∈ R a b = b a ∀a, b ∈ R 1/2 +3 /7 =3/7+1/2

(2)(1/5)=(1/5)(2)

Asociativa a + (b+c)=(a+b)+c ∀a,b,c ∈ R a(b c)=(a b)c ∀a,b,c ∈ R 5+(3+4)=(5+3)+4

3(2 5)=(3 2)5

Elemento

Neutro ∃ 0 ∈ R a + 0 = a, ∀a ∈ R a  1 = a ∀a ∈ R 5 + 0 = 5

7 1 = 1

Inverso a + (-a) = 0 ∈ R Dado a ∈ R, con

a ≠ 0, ∃a−1 ∈ R tal que a 1/a = 1 2 + (-2) = 0

5 1/5 = 1

Distributiva a(a + b) = ab + ac ∀a, b ∈ R 2(7 + 3) = 2 7 + 2 3

5 4 + 5 8 = 5(4 + 8)

Orden en los R

a) a ≤ b b – a > 0

b) a ≤ b b – a ≥ 0

Axiomas de orden

A1. Sean x, y, z ∈ R

∀ x, y ∈ R se cumple una sola de las siguientes afirmaciones.

x > y x = y x < y

A2. Transitividad

Si x < y & y < x x < z

A3.

Si x < y x + z < y + z ∀z ∈ R

A4.

Si 0 < x & 0 < y 0 < xy

Cota superior e inferior

Sea [a,b], un numero c ∈ R es cota superior de [a,b] si b≤c y un número e ∈ R es cota inferior de [a.b] si a≤b

Un conjunto A de números reales, está acotado superiormente, inferiormente y implemente acotado, si tiene una cota superior, una cota inferior o ambas cotas respectivamente.

Ejemplos:

1. A={-14, -1} Es acotado

2. A={…,-4, -20, 0} A es acotado superirmente

3. Z No esta acotado

4. {0, 1} A es acotado

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