Axioma De Numeros Reales

ÁLGEBRA

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AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE LA ADICIÓN

AXIOMAS DE LA

MULTIPLICACIÓN

AXIOMAS DE NÚMEROS REALES

El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por 

con dos operaciones internas llamadas:

1) Adición (+) :  (a,b) = a+b

2) Multiplicación (.) :  (a,b) = a.b

y una relación de orden “<”

(<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.

I.

A1: Ley de clausura

 a, b    a + b  

A2: Ley conmutativa

 a, b    a + b = b+a

A3: Ley Asociativa

 a, b, c   

( a + b ) + c = a + ( b + c )

A4: Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo

Existe un valor único  , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que

 a  : a + 0 = a = 0 + a

A5: Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo

 a  , existe un valor único denotado por -a tal que:

 a  :

a + (-a) = 0 = (-a) + a

II.

M1: Ley de clausura

 a, b    a.b  

M2: Ley conmutativa

 a, b    a.b = b.a

M3: Ley Asociativa:  a, b, c    ( a . b ) . c = a . ( b . c )

M4: Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo

Existe un valor único  , denotado por “1”

( 1, se lee uno ) tal que

 a  : a.1 = a = 1.a

M5: Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo

 a   / a  0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que

a. a - 1 = 1 = a - 1. A

1.1

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AXIOMAS DE LEY

DISTRIBUTIVA RESPECTO

A LA ADICIÓN

AXIOMAS DE ORDEN

AXIOMAS DE LA

RELACIÓN DE IGUALDAD

DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DEL SUPREMO

III.

 a, b, c  

D1: Distributividad por la izquierda

a ( b + c ) = a b + a c

D2: Distributividad por la derecha

( a + b ) c = ac + bc

IV.

O1 = Ley de Tricotomía

Dados a y b  ; se cumple una y solamente una de las siguiente

relaciones:

a < b a = b b < a

O2 = Ley Transitiva,  a, b, c  ,

se cumple Si; a < b  b < c

 a < c

O3 = Ley de la Monotonía

i)  a, b, c  ;

si a < b  a + c < b + c

ii) Si a < b  0 < c  ac < bc

iii) Si a < b  c < 0  bc < ac

V.

 a, b, c  , se cumple

1) Dicotomía: a = b  a  b

2) Reflexividad: a = a

3) Simetría: a = b  b = a

4) Transitividad:

Si : a = b  b = c  a = c

5) Unicidad de la adición

Si: a = b  a+c = b+c

6) Unicidad de la multiplicación

Si: a = b  a.c = b.c

VI.

Todo conjunto A de números reales (A  0: no vacío) acotado

superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.

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RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)

La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de

los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números

reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que)

entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.

Interv alo abierto Interv alo cerrado

#s negativos #s positivos

A B

a

0

- b c d

8

+ 8

La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad

“a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”.

Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente:

1. “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo.

2. Los números negativos son menores que cero.

3. El cero es menor que cualquier número positivo.

4. El conjunto A denotado por

A =  x / a < x < b 

Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos

representaciones matemáticas

X  < a; b > ó x  ] a ; b [

Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b”

5. El conjunto B, denotado por

B =  x / c  x  d 

Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado”

sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d”

”, se denota como:

x  [ a ; d ]

6. El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la

siguiente regla de correspondencia.

|a| =







 



a ; si a 0

a ; si a 0

7. La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es:

|a - b|

TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1. Ecuación de primer grado en una variable

 a, b, x  ;

con a  0. Si ax + b = 0, entonces se cumple que:

a

b

x 

2. Ecuación de segundo grado en una variable

 a, b, c, x  ;

con a  0 / ax2 + bx + c = 0

se cumple que:

2a

b b 4ac

x

2   



1.2

1.3

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OPERACIONES BÁSICAS EN

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS

REALES

o también:

2a

b

x

  



al símbolo  = b2 – 4 ac, se llama discriminante de la ecuación de segundo

grado.

3. Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas

 a1, b1, c1, a2, b2, c2  

con; a1 b2  a2 b1, donde:







  

  

a x b y c .......... .( )

a x b y c .......... .( )

2 2 2

1 1 1

se cumple que:

1

2

1 2

1 2 2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

a b a b

c b c b

a b

a b

c b

c b

x





 

1 2 2 1

1 2 2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

a b a b

a c a c

a b

a b

a c

a c

y





 

4.  a, b   / a.b=0  a = 0 b=0

Adición.- Es la operación matemática, que por medio del signo (+) dos o

más cantidades llamadas sumandos se reducen

...